Dados a função f(x, y, z)=\sqrt{x y z} e o ponto P(3,2,6), determine:
a) A derivada direcional de f em P na direção do vetor \mathbf{v}=-\mathbf{i}-2 \mathbf{j}+2 \mathbf{k}.
b) A taxa máxima de variação de f em P e a direção em que isto ocorre.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e as informações que já temos.
  • Dado: f(x,y,z)=\sqrt{x y z}=\bigl(xyz\bigr)^{1/2}.
  • Ponto: P(3,2,6).
  • Vetor de direção (para a letra a): \mathbf{v}=-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
O enunciado pede:
(a) A derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{v}.
(b) A taxa máxima de variação de f em P (valor numérico) e a direção onde isso ocorre.
Guarde isso: para calcular derivadas direcionais vamos precisar das derivadas parciais de f em P e da relação entre derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Lembrete teórico (curtinho e essencial) sobre derivada direcional e gradiente — explicação passo a passo:
  • Seja \mathbf{u} um vetor unitário. A derivada direcional de f em P na direção \mathbf{u} é a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P na direção de \mathbf{u}. Formalmente:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{t\to0}\frac{f(P+t\mathbf{u})-f(P)}{t}.
  • Pelo teorema da cadeia (aplicando g(t)=f(P+t\mathbf{u})), tem-se a fórmula prática que usamos em provas:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
ou seja, basta calcular o gradiente \nabla f(P) e fazer o produto escalar com o vetor unitário \mathbf{u}.
  • O gradiente \nabla f(P) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(P)=\bigl(f_x(P),\,f_y(P),\,f_z(P)\bigr).
  • A taxa máxima de variação de f em P (o maior valor possível da derivada direcional) é \|\nabla f(P)\| e ocorre na direção do próprio gradiente, ou seja, na direção do vetor \nabla f(P). A direção unitária correspondente é \dfrac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}.
Agora que sabemos o que usar, vamos calcular as parciais.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=\bigl(xyz\bigr)^{1/2}. Vou usar a regra da cadeia e diferencial de potência:
Escrevendo f=(xyz)^{1/2}. Para f_x, trata-se de derivar em relação a x mantendo y,z constantes:
f_x=\frac{1}{2}(xyz)^{-1/2}\cdot (yz).
Simplificando:
f_x=\frac{yz}{2\sqrt{xyz}}.
Uma forma alternativa (às vezes mais intuitiva) é:
f_x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{yz}{x}}.
Analogamente,
f_y=\frac{xz}{2\sqrt{xyz}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xz}{y}},
f_z=\frac{xy}{2\sqrt{xyz}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{xy}{z}}.

Passo 4

Avaliar as parciais em P(3,2,6). Primeiro calculemos alguns produtos úteis:
xy=3\cdot2=6,\qquad yz=2\cdot6=12,\qquad xz=3\cdot6=18,\qquad xyz=3\cdot2\cdot6=36.
Agora as derivadas parciais em P:
  • Para f_x(P):
f_x(P)=\frac{yz}{2\sqrt{xyz}}=\frac{12}{2\sqrt{36}}=\frac{12}{2\cdot6}=\frac{12}{12}=1.
(ou usando a outra forma: \tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{yz}{x}}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{12}{3}}=\tfrac{1}{2}\sqrt{4}=\tfrac{1}{2}\cdot2=1.)
  • Para f_y(P):
f_y(P)=\frac{xz}{2\sqrt{xyz}}=\frac{18}{2\cdot6}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.
  • Para f_z(P):
f_z(P)=\frac{xy}{2\sqrt{xyz}}=\frac{6}{2\cdot6}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.
Portanto
\nabla f(P)=\bigl(1,\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 5

Parte (a): calcular a derivada direcional na direção do vetor \mathbf{v}=-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
Primeiro precisamos do vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}. Calcule o módulo de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\Bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr).
Agora use a fórmula D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}. Fazendo o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\bigl(1,\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr).
Calcule termo a termo:
1\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)=-\tfrac{1}{3}, \qquad \tfrac{3}{2}\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)=-1, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)=\tfrac{1}{3}.
Somando:
D_{\mathbf{u}}f(P)=-\tfrac{1}{3}-1+\tfrac{1}{3}=-1.
Portanto a derivada direcional pedida é -1. (Interpretação rápida: isso significa que, ao mover-se infinitesimalmente a partir de P na direção de \mathbf{v}, a função diminui à taxa 1 por unidade de deslocamento.)

Passo 6

Parte (b): taxa máxima de variação e direção onde ocorre.
Como lembrado no passo 2, a taxa máxima de variação em P é o módulo do gradiente \|\nabla f(P)\|. Já temos \nabla f(P)=\bigl(1,\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr). Calculemos o módulo:
\|\nabla f(P)\|=\sqrt{1^2+\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}} =\sqrt{1+\tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}} =\sqrt{\tfrac{4+9+1}{4}}=\sqrt{\tfrac{14}{4}}=\frac{\sqrt{14}}{2}.
Portanto a taxa máxima de variação em P é \dfrac{\sqrt{14}}{2}.
A direção em que isso ocorre é a direção do gradiente. A versão unitária dessa direção (útil em provas) é
\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|} =\frac{\bigl(1,\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr)}{\tfrac{\sqrt{14}}{2}} =\frac{2}{\sqrt{14}}\bigl(1,\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{14}},\tfrac{3}{\sqrt{14}},\tfrac{1}{\sqrt{14}}\Bigr).
Note que esse vetor unitário é igual a
\frac{(2,3,1)}{\sqrt{14}},
o que é mais simples para memorizar: a direção de máximo aumento é ao longo de (2,3,1), ou na unidade \dfrac{(2,3,1)}{\sqrt{14}}.

Passo 7

Resumo rápido do procedimento (dica de prova): calcular parciais -> formar \nabla f(P) -> para direção qualquer normalizar o vetor pedido e fazer produto escalar para obter a derivada direcional; o máximo é \|\nabla f(P)\ e ocorre na direção \nabla f(P).

Resposta

(a) -1
(b) \dfrac{\sqrt{14}}{2}, direção unitária \dfrac{(2,3,1)}{\sqrt{14}}

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