Dados a função
e o ponto
, determine:
a) A derivada direcional de
em
na direção do vetor
.
b) A taxa máxima de variação de
em
e a direção em que isto ocorre.
a) A derivada direcional de
b) A taxa máxima de variação de
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede e as informações que já temos.
- Dado:
. - Ponto:
. - Vetor de direção (para a letra a):
.
O enunciado pede:
(a) A derivada direcional de em
na direção de
.
(b) A taxa máxima de variação de em
(valor numérico) e a direção onde isso ocorre.
(a) A derivada direcional de
(b) A taxa máxima de variação de
Guarde isso: para calcular derivadas direcionais vamos precisar das derivadas parciais de
em
e da relação entre derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Lembrete teórico (curtinho e essencial) sobre derivada direcional e gradiente — explicação passo a passo:
- Seja
um vetor unitário. A derivada direcional de em na direção é a taxa de variação de quando nos movemos a partir de na direção de . Formalmente:
- Pelo teorema da cadeia (aplicando
), tem-se a fórmula prática que usamos em provas:
ou seja, basta calcular o gradiente
e fazer o produto escalar com o vetor unitário
.
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
- A taxa máxima de variação de
em (o maior valor possível da derivada direcional) é e ocorre na direção do próprio gradiente, ou seja, na direção do vetor . A direção unitária correspondente é .
Agora que sabemos o que usar, vamos calcular as parciais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou usar a regra da cadeia e diferencial de potência:
Escrevendo
. Para
, trata-se de derivar em relação a
mantendo
constantes:
Simplificando:
Uma forma alternativa (às vezes mais intuitiva) é:
Analogamente,
Passo 4
Avaliar as parciais em
. Primeiro calculemos alguns produtos úteis:
Agora as derivadas parciais em
:
- Para
:
(ou usando a outra forma:
.)
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 5
Parte (a): calcular a derivada direcional na direção do vetor
.
Primeiro precisamos do vetor unitário
na direção de
. Calcule o módulo de
:
Logo o vetor unitário é
Agora use a fórmula
. Fazendo o produto escalar:
Calcule termo a termo:
Somando:
Portanto a derivada direcional pedida é
. (Interpretação rápida: isso significa que, ao mover-se infinitesimalmente a partir de
na direção de
, a função diminui à taxa 1 por unidade de deslocamento.)
Passo 6
Parte (b): taxa máxima de variação e direção onde ocorre.
Como lembrado no passo 2, a taxa máxima de variação em
é o módulo do gradiente
. Já temos
. Calculemos o módulo:
Portanto a taxa máxima de variação em
é
.
A direção em que isso ocorre é a direção do gradiente. A versão unitária dessa direção (útil em provas) é
Note que esse vetor unitário é igual a
o que é mais simples para memorizar: a direção de máximo aumento é ao longo de
, ou na unidade
.
Passo 7
Resumo rápido do procedimento (dica de prova): calcular parciais -> formar
-> para direção qualquer normalizar o vetor pedido e fazer produto escalar para obter a derivada direcional; o máximo é
\ e ocorre na direção
.
Resposta
(a)
(b)
, direção unitária