Considere a função
.
a) Determine o domínio de
.
b) Faça
constante qualquer, e calcule
.
c) A partir do resultado do item anterior, o que se pode concluir sobre
d)
é contínua em ( 0,0 )? Justifique.
a) Determine o domínio de
b) Faça
c) A partir do resultado do item anterior, o que se pode concluir sobre
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
a) Determinar o domínio de .
b) Fazer com
constante qualquer e calcular
.
c) A partir do item (b), o que se conclui sobre ?
d) é contínua em
? Justificar.
a) Determinar o domínio de
b) Fazer
c) A partir do item (b), o que se conclui sobre
d)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é dada por uma razão com denominador
. - Não foi dada definição de
em ; portanto devemos verificar se o denominador anula-se em algum ponto e se o limite em existe.
Passo 2
a) O que é o domínio e como encontrar aqui.
Definição rápida: o domínio de é o conjunto de todos os pares
em que a expressão que define
está bem definida (isto é, sem divisão por zero). No nosso caso o único perigo é o denominador
. Então procuramos os pontos onde
Definição rápida: o domínio de
Análise: para números reais,
e
e a soma só é zero quando
e
simultaneamente, isto é, quando
. Portanto o denominador é zero apenas em
. Conclusão:
Isto responde o item (a).
Passo 3
b) Substituição da reta
.
Vamos calcular para
(quando
e
também é
, que é o ponto excluído do domínio; mas o que importa é o comportamento para
próximo de
,
).
Vamos calcular
Escrevendo:
Fatorando
no denominador (válido para
):
Observação: após cancelar
obtemos uma expressão que é constante em relação a
(para cada
fixo), desde que
. Portanto, ao fazer
,
Isto responde o item (b). Vale enfatizar: o valor do limite ao longo da reta depende do parâmetro
.
Passo 4
Interpretação e ensino sobre limites por caminhos (preparação para (c)).
Conceito importante: para que exista e seja igual a um número
, é preciso que, ao aproximar
de
por qualquer sequência ou por qualquer caminho (retas, parábolas, curvas arbitrárias), os valores de
tendam sempre ao mesmo
. Se existirem dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite de duas variáveis não existe.
Conceito importante: para que
No item (b) encontramos, para a família de retas
,
Como esse valor depende de
, já podemos suspeitar que o limite em duas variáveis não existe. Vou mostrar um exemplo concreto com dois valores de
distintos para tornar isso claro.
Passo 5
c) Exemplos concretos e conclusão sobre o limite em
.
Escolhendo dois valores de :
Escolhendo dois valores de
- Para
(reta ) temos
- Para
(reta ) temos
Como
, os limites ao longo dessas duas retas são diferentes. Pelo conceito explicado no passo anterior, isso implica que o limite de
quando
não existe.
Complemento (método alternativo e mais elegante): usar coordenadas polares. Seja
e
. Para
,
Ao fazer
, o valor tende a
, que depende de
. Como diferentes
(diferentes direções) dão valores distintos, não existe um único limite quando
. Isto confirma a conclusão anterior.
Passo 6
d) Continuidade em
. Definição e aplicação.
Definição: uma função é contínua num ponto se (i) ela está definida em
e (ii)
existe e é igual a
.
Definição: uma função é contínua num ponto
No nosso caso:
- Pelo passo 2 concluímos que
não pertence ao domínio de (o denominador anula-se ali), ou seja, não está definido. Logo, a condição (i) falha imediatamente e não pode ser contínua em . - Além disso, pelo passo 5 vimos que o limite
não existe. Mesmo que alguém quisesse definir um valor artificial para tentar “estender” em , isso não tornaria a função contínua porque a existência do limite falha. Portanto não há como tornar contínua em por simples atribuição de um valor naquele ponto.
Conclusão:
não é contínua em
.
Resposta
a)
b)
c) não existe.
d) Não. não é contínua em
(o ponto não pertence ao domínio e o limite em
não existe).
b)
c)
d) Não.