Considere a função f(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
a) Determine o domínio de f.
b) Faça y=k x, k constante qualquer, e calcule \lim _{x \rightarrow 0} f(x, k x).
c) A partir do resultado do item anterior, o que se pode concluir sobre \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ?
d) f é contínua em ( 0,0 )? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
As perguntas são:
a) Determinar o domínio de f.
b) Fazer y=kx com k constante qualquer e calcular \lim_{x\to 0} f(x,kx).
c) A partir do item (b), o que se conclui sobre \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)?
d) f é contínua em (0,0)? Justificar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é dada por uma razão com denominador x^{2}+y^{2}.
  • Não foi dada definição de f em (0,0); portanto devemos verificar se o denominador anula-se em algum ponto e se o limite em (0,0) existe.

Passo 2

a) O que é o domínio e como encontrar aqui.
Definição rápida: o domínio de f é o conjunto de todos os pares (x,y) em que a expressão que define f está bem definida (isto é, sem divisão por zero). No nosso caso o único perigo é o denominador x^{2}+y^{2}. Então procuramos os pontos onde
x^{2}+y^{2}=0.
Análise: para números reais, x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0 e a soma só é zero quando x^{2}=0 e y^{2}=0 simultaneamente, isto é, quando (x,y)=(0,0). Portanto o denominador é zero apenas em (0,0). Conclusão:
\text{dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 0\}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Isto responde o item (a).

Passo 3

b) Substituição da reta y=kx.
Vamos calcular f(x,kx) para x\neq 0 (quando x=0 e y=kx também é 0, que é o ponto excluído do domínio; mas o que importa é o comportamento para x próximo de 0, x\neq 0).
Escrevendo:
f(x,kx)=\frac{x^{2}}{x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}.
Fatorando x^{2} no denominador (válido para x\neq 0):
f(x,kx)=\frac{x^{2}}{x^{2}(1+k^{2})}=\frac{1}{1+k^{2}}.
Observação: após cancelar x^{2} obtemos uma expressão que é constante em relação a x (para cada k fixo), desde que x\neq 0. Portanto, ao fazer x\to 0,
\lim_{x\to 0} f(x,kx)=\frac{1}{1+k^{2}}.
Isto responde o item (b). Vale enfatizar: o valor do limite ao longo da reta depende do parâmetro k.

Passo 4

Interpretação e ensino sobre limites por caminhos (preparação para (c)).
Conceito importante: para que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista e seja igual a um número L, é preciso que, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer sequência ou por qualquer caminho (retas, parábolas, curvas arbitrárias), os valores de f(x,y) tendam sempre ao mesmo L. Se existirem dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite de duas variáveis não existe.
No item (b) encontramos, para a família de retas y=kx,
\lim_{x\to 0} f(x,kx)=\frac{1}{1+k^{2}}.
Como esse valor depende de k, já podemos suspeitar que o limite em duas variáveis não existe. Vou mostrar um exemplo concreto com dois valores de k distintos para tornar isso claro.

Passo 5

c) Exemplos concretos e conclusão sobre o limite em (0,0).
Escolhendo dois valores de k:
  • Para k=0 (reta y=0) temos
\lim_{x\to 0} f(x,0)=\frac{1}{1+0^{2}}=1.
  • Para k=1 (reta y=x) temos
\lim_{x\to 0} f(x,x)=\frac{1}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}.
Como 1\neq \tfrac{1}{2}, os limites ao longo dessas duas retas são diferentes. Pelo conceito explicado no passo anterior, isso implica que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe.
Complemento (método alternativo e mais elegante): usar coordenadas polares. Seja x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Para r>0,
f(r\cos\theta,r\sin\theta)=\frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}=\frac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=\cos^{2}\theta.
Ao fazer r\to 0^{+}, o valor tende a \cos^{2}\theta, que depende de \theta. Como diferentes \theta (diferentes direções) dão valores distintos, não existe um único limite quando (x,y)\to(0,0). Isto confirma a conclusão anterior.

Passo 6

d) Continuidade em (0,0). Definição e aplicação.
Definição: uma função é contínua num ponto P se (i) ela está definida em P e (ii) \lim_{X\to P} f(X) existe e é igual a f(P).
No nosso caso:
  • Pelo passo 2 concluímos que (0,0) não pertence ao domínio de f (o denominador anula-se ali), ou seja, f(0,0) não está definido. Logo, a condição (i) falha imediatamente e f não pode ser contínua em (0,0).
  • Além disso, pelo passo 5 vimos que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Mesmo que alguém quisesse definir um valor artificial f(0,0)=L para tentar “estender” f em (0,0), isso não tornaria a função contínua porque a existência do limite falha. Portanto não há como tornar f contínua em (0,0) por simples atribuição de um valor naquele ponto.
Conclusão: f não é contínua em (0,0).

Resposta

a) \displaystyle \text{dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 0\}=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
b) \displaystyle \lim_{x\to 0} f(x,kx)=\frac{1}{1+k^{2}}.
c) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
d) Não. f não é contínua em (0,0) (o ponto não pertence ao domínio e o limite em (0,0) não existe).

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