O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 40 cm e 25 cm , respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 \mathrm{~cm}. Utilize as diferenciais par estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudinho para ficarmos alinhados):
  • Comprimento medido: x=40\\ \text{cm}.
  • Largura medida: y=25\\ \text{cm}.
  • Erro máximo de medida em cada uma: \pm 0,1\\ \text{cm} (ou seja, para as variações pequenas: |dx|\le 0,1\\ \text{cm} e |dy|\le 0,1\\ \text{cm}).
  • O que se pede: usar as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.

Passo 2

Definindo a função área e as variáveis:
  • A área do retângulo como função do comprimento e da largura é \displaystyle A(x,y)=x\,y.
  • Aqui x representa o comprimento (em \text{cm}), y representa a largura (em \text{cm}).
  • Pequenas variações nas medidas serão denotadas por dx (variação em x) e dy (variação em y). Queremos estimar a variação correspondente na área, que chamamos dA.

Passo 3

Regra das diferenciais (mini-aula):
  • Para uma função de duas variáveis A(x,y), a diferencial dA dá a melhor aproximação linear da mudança em A quando x e y mudam pouco. A fórmula é
dA = \frac{\partial A}{\partial x}\,dx + \frac{\partial A}{\partial y}\,dy.
  • Aqui \frac{\partial A}{\partial x} é a derivada parcial de A em relação a x (mantendo y fixo), e \frac{\partial A}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y.

Passo 4

Aplicando ao caso A(x,y)=x\,y:
  • Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial A}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial A}{\partial y}=x.
  • Portanto a diferencial é
dA = y\,dx + x\,dy.
Isto significa, em palavras simples: a variação aproximada da área é a largura vezes a variação do comprimento mais o comprimento vezes a variação da largura.

Passo 5

Como obter o erro máximo (argumento didático):
  • Temos que |dx|\le 0,1\\ \text{cm} e |dy|\le 0,1\\ \text{cm}. Como x e y são positivos, para maximizar o valor absoluto de dA devemos tomar dx e dy com o mesmo sinal que maximize y\,dx + x\,dy. Pelo princípio da desigualdade triangular, um limite superior para o erro absoluto é
|dA|\le |y|\,|dx| + |x|\,|dy|.
  • Com x=40, y=25, |dx|_{\max}=|dy|_{\max}=0,1, obtemos
|dA|\le 25\cdot 0,1 + 40\cdot 0,1.

Passo 6

Cálculo numérico final:
25\cdot 0,1 = 2,5,\qquad 40\cdot 0,1 = 4,
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|dA|\le 2,5 + 4 = 6,5.
Unidades: como x e y estão em \text{cm}, a área está em \text{cm}^2. Portanto o erro máximo estimado na área é 6,5\\ \text{cm}^2.

Resposta

6,5\\ \text{cm}^2

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