O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 40 cm e 25 cm , respectivamente, com um erro de medida de, no máximo,
. Utilize as diferenciais par estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudinho para ficarmos alinhados):
- Comprimento medido:
. - Largura medida:
. - Erro máximo de medida em cada uma:
(ou seja, para as variações pequenas: e ). - O que se pede: usar as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo.
Passo 2
Definindo a função área e as variáveis:
- A área do retângulo como função do comprimento e da largura é
. - Aqui
representa o comprimento (em ), representa a largura (em ). - Pequenas variações nas medidas serão denotadas por
(variação em ) e (variação em ). Queremos estimar a variação correspondente na área, que chamamos .
Passo 3
Regra das diferenciais (mini-aula):
- Para uma função de duas variáveis
, a diferencial dá a melhor aproximação linear da mudança em quando e mudam pouco. A fórmula é
- Aqui
é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo), e é a derivada parcial em relação a .
Passo 4
Aplicando ao caso
:
- Calcule as derivadas parciais:
- Portanto a diferencial é
Isto significa, em palavras simples: a variação aproximada da área é a largura vezes a variação do comprimento mais o comprimento vezes a variação da largura.
Passo 5
Como obter o erro máximo (argumento didático):
- Temos que
e . Como e são positivos, para maximizar o valor absoluto de devemos tomar e com o mesmo sinal que maximize . Pelo princípio da desigualdade triangular, um limite superior para o erro absoluto é
- Com
, , , obtemos
Passo 6
Cálculo numérico final:
logo
Unidades: como
e
estão em
, a área está em
. Portanto o erro máximo estimado na área é
.