Verifique que
.)
.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o conjunto
é um subgrupo de .
Informações dadas (retiradas do enunciado):
é um subgrupo de
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- Um elemento genérico de
é da forma com e satisfazendo a condição . - O conjunto
contém todos os números complexos cujas partes real e imaginária estão relacionadas por .
Passo 2
Primeiro vou escolher a estrutura de grupo que estamos usando e explicar porquê. Quando se diz "subgrupo de
" sem mais especificações, o sentido usual é considerar
como grupo aditivo, isto é, com a operação soma de números complexos. Justificativa rápida: se alguém pedisse subgrupo multiplicativo, o elemento
deveria estar no subgrupo; aqui
não satisfaz
, logo
, então
não poderia ser subgrupo multiplicativo. Além disso
(veremos), o que faz sentido para subgrupos aditivos. Portanto vamos provar que
é subgrupo de
.
Lembrete do que significa “subgrupo” no caso aditivo (definição que vou usar): um subconjunto
é subgrupo de
se satisfaz:
-
é não vazio (normalmente mostra-se que ); -
é fechado sob soma: se então ; -
é fechado sob inversos aditivos: se então .
Uma forma alternativa e equivalente (teste de subgrupo) é:
não vazio e para todos
tem-se
. Vou usar a forma com identidade, soma e inverso porque é direta e didática.
Passo 3
Mostrar que
é não vazio (identidade neutra da soma está em
).
A identidade aditiva em
é
, que corresponde a
. Tomando
na condição
obtemos
, logo
. Portanto
é não vazio e contém a identidade aditiva.
Passo 4
Mostrar fechamento por soma: se
então
.
Sejam
com
e
(isso vem da definição de
). A soma é
Agora substituo
e
pelas suas expressões em função de
:
Portanto a parte imaginária de
é exatamente o dobro da sua parte real
. Assim
satisfaz a condição
e pertence a
. Conclusão:
é fechado sob soma.
Passo 5
Mostrar fechamento por inversos aditivos: se
então
.
Tome
com
. O inverso aditivo é
Como
, temos
. Ou seja, a parte imaginária de
é o dobro da parte real de
. Logo
também satisfaz a condição
e pertence a
. Portanto
contém inversos aditivos.
Passo 6
Conclusão final:
contém
, é fechado sob soma e contém inversos aditivos; portanto
é um subgrupo de
. Uma observação extra (útil para entendimento): qualquer elemento de
pode ser escrito como
com
. Isso mostra que
é a reta (subespaço real) gerada por
, ou seja
, o que dá uma visão geométrica:
é uma subreta de
passando pela origem.