Verifique que
H=\{z=a+b i \in \mathbb{C} ; b=2 a\}\} é um subgrupo de \(\mathbb{C}.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto
\displaystyle H=\{z=a+b i \in \mathbb{C} \mid b=2a\}
é um subgrupo de \mathbb{C}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Um elemento genérico de H é da forma z=a+b i com a,b\in\mathbb{R} e satisfazendo a condição b=2a.
  • O conjunto H contém todos os números complexos cujas partes real a e imaginária b estão relacionadas por b=2a.

Passo 2

Primeiro vou escolher a estrutura de grupo que estamos usando e explicar porquê. Quando se diz "subgrupo de \mathbb{C}" sem mais especificações, o sentido usual é considerar \mathbb{C} como grupo aditivo, isto é, com a operação soma de números complexos. Justificativa rápida: se alguém pedisse subgrupo multiplicativo, o elemento 1 deveria estar no subgrupo; aqui 1=1+0i não satisfaz 0=2\cdot1, logo 1\notin H, então H não poderia ser subgrupo multiplicativo. Além disso 0\in H (veremos), o que faz sentido para subgrupos aditivos. Portanto vamos provar que H é subgrupo de (\mathbb{C},+).
Lembrete do que significa “subgrupo” no caso aditivo (definição que vou usar): um subconjunto H\subseteq\mathbb{C} é subgrupo de (\mathbb{C},+) se satisfaz:
  1. H é não vazio (normalmente mostra-se que 0\in H);
  2. H é fechado sob soma: se x,y\in H então x+y\in H;
  3. H é fechado sob inversos aditivos: se x\in H então -x\in H.
Uma forma alternativa e equivalente (teste de subgrupo) é: H não vazio e para todos x,y\in H tem-se x-y\in H. Vou usar a forma com identidade, soma e inverso porque é direta e didática.

Passo 3

Mostrar que H é não vazio (identidade neutra da soma está em H).
A identidade aditiva em \mathbb{C} é 0, que corresponde a 0+0i. Tomando a=0 na condição b=2a obtemos b=0, logo 0+0i\in H. Portanto H é não vazio e contém a identidade aditiva.

Passo 4

Mostrar fechamento por soma: se z_1,z_2\in H então z_1+z_2\in H.
Sejam
z_1=a_1+b_1 i\in H\quad\text{e}\quad z_2=a_2+b_2 i\in H,
com b_1=2a_1 e b_2=2a_2 (isso vem da definição de H). A soma é
z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i.
Agora substituo b_1 e b_2 pelas suas expressões em função de a_1,a_2:
b_1+b_2=2a_1+2a_2=2(a_1+a_2).
Portanto a parte imaginária de z_1+z_2 é exatamente o dobro da sua parte real a_1+a_2. Assim z_1+z_2 satisfaz a condição b=2a e pertence a H. Conclusão: H é fechado sob soma.

Passo 5

Mostrar fechamento por inversos aditivos: se z\in H então -z\in H.
Tome z=a+bi\in H com b=2a. O inverso aditivo é
-z = -a + (-b)i.
Como b=2a, temos -b= -2a = 2(-a). Ou seja, a parte imaginária de -z é o dobro da parte real de -z. Logo -z também satisfaz a condição b=2a e pertence a H. Portanto H contém inversos aditivos.

Passo 6

Conclusão final: H contém 0, é fechado sob soma e contém inversos aditivos; portanto H é um subgrupo de (\mathbb{C},+). Uma observação extra (útil para entendimento): qualquer elemento de H pode ser escrito como
z=a+2a i=a(1+2i),
com a\in\mathbb{R}. Isso mostra que H é a reta (subespaço real) gerada por 1+2i, ou seja H=\{a(1+2i)\mid a\in\mathbb{R}\}, o que dá uma visão geométrica: H é uma subreta de \mathbb{C} passando pela origem.

Resposta

H é subgrupo de (\mathbb{C},+).

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