Mostre que A=4 x-2 y-z e B=x+4 y-4 hat z são perpendiculares.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois vetores no espaço tridimensional:
A = 4,x - 2,y - 1,z e B = 1,x + 4,y - 4,z
O conteúdo aqui é produto escalar de vetores. Pra mostrar que eles são perpendiculares, basta usar a definição: dois vetores são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Então o que a gente vai precisar é simplesmente calcular
AcdotB
e verificar se o resultado dá zero.

Passo 2

Teoria rápida: o produto escalar de dois vetores
AcdotB ;=; Ax,Bx ;+; Ay,By ;+; Az,Bz e

é definido como
Se esse somatório for zero, então os vetores são perpendiculares (ângulo de 90° entre eles).

Passo 3

Agora a gente pega as componentes de A e de B:
  • AcdotB = (4)(1) ;+; (-2)(4) ;+; (-1)(-4) , , .
  • , , .
E põe na fórmula do produto escalar:

Passo 4

Bora calcular cada termo:
  1. 4 ;+; (-8) ;+; 4 ;=; 4 - 8 + 4 = 0
Somando tudo:

Resposta

Como , concluímos que os vetores são perpendiculares.

Exercícios relacionados