Dados históricos indicam que, em média, 6 veículos a cada 30 segundos passam por um determinado cruzamento de uma cidade e que a variável “número de veículos” (Y) se ajusta bem pela distribuição de Poisson. Com base nestas informações:
Qual a probabilidade de observarmos a passagem de até 2 veículos em 30 segundos

Passo 1

O enunciado informa que o número de veículos Y que passa em 30 s ajusta-se a uma distribuição de Poisson com média de 6 veículos por 30 s. O que queremos é
P(Y\le 2),
a probabilidade de observar até 2 veículos nesse intervalo.

Passo 2

Para Y\sim\text{Poisson}(\lambda) vale
P(Y=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}.
Aqui temos \lambda=6, logo
P(Y\le 2)=\sum_{k=0}^{2}\frac{e^{-6}\,6^k}{k!}.

Passo 3

Calculemos os termos da soma:
P(Y=0)=\frac{e^{-6}\,6^0}{0!}=e^{-6},
P(Y=1)=\frac{e^{-6}\,6^1}{1!}=6\,e^{-6},
P(Y=2)=\frac{e^{-6}\,6^2}{2!}=\frac{36}{2}\,e^{-6}=18\,e^{-6}.

Passo 4

Somando esses valores e usando e^{-6}\approx0{,}00247875:
P(Y\le2)=e^{-6}+6\,e^{-6}+18\,e^{-6}=(1+6+18)\,e^{-6}=25\,e^{-6}\approx25\times0{,}00247875\approx0{,}06197.

Resposta

A probabilidade de observar até 2 veículos em 30 s é aproximadamente 0{,}06197.

Exercícios relacionados