Dados os intervalos:
A=(-\infty, 2], \quad B=(-1,4), \quad C=[0,3]
determine:
(a) A \cap B \cap C
(b) (A \cup B) \backslash C
(c) o maior intervalo D \subseteq A \cup B \cup C que não intersecta A \cap B \cap C

Passo 1

O enunciado fornece três intervalos no conjunto dos reais:
A = (-\infty,2],\quad B = (-1,4),\quad C = [0,3].
Pede-se:
(a) a interseção A\cap B\cap C,
(b) a diferença (A\cup B)\setminus C,
(c) o maior intervalo D\subseteq A\cup B\cup C que seja disjunto de A\cap B\cap C.
Vamos usar as operações usuais de união, interseção e diferença de intervalos no eixo real.

Passo 2

Para (a), primeiro achamos A\cap B.
Os extremos são
\max\bigl(-\infty,-1\bigr)=-1\quad(\text{aberto}),\qquad \min\bigl(2,4\bigr)=2\quad(\text{fechado}).
Logo
A\cap B = (-1,2].
Agora intersectamos com C=[0,3]. O novo extremo à esquerda é \max(-1,0)=0 (fechado, pois 0\in C) e à direita \min(2,3)=2 (fechado). Portanto
A\cap B\cap C = [0,2].

Passo 3

Para (b), começamos por A\cup B. Os extremos são
\min(-\infty,-1)=-\infty,\quad \max(2,4)=4\quad(\text{aberto em }4),
de modo que
A\cup B = (-\infty,4).
A seguir, retiramos C=[0,3]. Ao remover esse intervalo de (-\infty,4) ficam duas componentes:
(-\infty,0)\quad\text{e}\quad(3,4).
Assim,
(A\cup B)\setminus C = (-\infty,0)\,\cup\,(3,4).

Passo 4

Para (c), precisamos do maior intervalo D\subseteq A\cup B\cup C = (-\infty,4) que não intersecte A\cap B\cap C=[0,2].
O conjunto (-\infty,4)\setminus[0,2] tem duas componentes conexas: (-\infty,0) e (2,4). Dessas, (-\infty,0) é o “maior” (estende-se indefinidamente para a esquerda). Logo
D = (-\infty,0).

Resposta

(a) [0,2]
(b) (-\infty,0)\cup(3,4)
(c) (-\infty,0)

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