Encontre todos os valores reais de x que satisfazem simultaneamente:
x \in\left(\frac{1}{2}, 3\right) \quad \text { e } \quad \frac{1}{x} \in\left[\frac{1}{4}, 2\right) .

Passo 1

O enunciado pede todos os x\in\mathbb{R} tais que
x\in\bigl(\tfrac12,3\bigr) \quad\text{e}\quad \frac1x\in\bigl[\tfrac14,2\bigr).
O conteúdo aqui é manipulação de desigualdades envolvendo função recíproca.

Passo 2

Como \tfrac12<x<3, segue que x>0. Assim, ao resolver as desigualdades em \frac1x, não precisamos inverter o sinal das desigualdades de forma inesperada:
\frac1x\ge\frac14 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le4,
\frac1x<2 \quad\Longleftrightarrow\quad x>\tfrac12.
Logo a condição \frac1x\in[\tfrac14,2) equivale a
x\in\bigl(\tfrac12,4\bigr].

Passo 3

Agora intersectamos as duas condições:
x\in\bigl(\tfrac12,3\bigr) \quad\text{e}\quad x\in\bigl(\tfrac12,4\bigr] \;\Longrightarrow\; x\in\bigl(\tfrac12,3\bigr),
pois \bigl(\tfrac12,3\bigr)\subset\bigl(\tfrac12,4\bigr].

Resposta

\boxed{x\in\bigl(\tfrac12,3\bigr).}

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