Dados U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=0\right\} \mathrm{e} W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=y\right\} subespaços de \mathbb{R}^{3}.
Temos que \mathbb{R}^{3}=U \oplus W.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
  • U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: z=0\}.
  • W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x=y\}.
A pergunta é verificar se vale \mathbb{R}^3 = U \oplus W. Ou seja: a afirmação é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Primeiro lembramos o que significa soma direta de subespaços. Dizemos que
\mathbb{R}^3 = U \oplus W
se, e somente se, valem simultaneamente duas coisas:
  1. U + W = \mathbb{R}^3, onde
U+W=\{u+w : u\in U,\; w\in W\};
  1. U\cap W=\{0\}, ou seja, a interseção é apenas o vetor zero.
Vou verificar essas duas condições uma a uma.

Passo 3

Mostrando que U+W=\mathbb{R}^3.
Pegue um vetor qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Posso escrevê-lo como soma
(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z).
Aqui (x,y,0)\in U porque seu terceiro componente é zero. E (0,0,z)\in W porque em (0,0,z) vale x=y=0, logo a condição x=y de W é satisfeita. Assim todo (x,y,z) é soma de um elemento de U com um de W, portanto U+W=\mathbb{R}^3.

Passo 4

Agora vamos calcular a interseção U\cap W.
Um vetor v=(x,y,z) pertence a U\cap W se satisfaz simultaneamente as condições de U e de W, isto é:
z=0 \quad\text{e}\quad x=y.
Portanto os vetores da interseção têm a forma
(x,x,0),\quad x\in\mathbb{R}.
Escrevendo com parâmetro t temos
U\cap W=\{(t,t,0): t\in\mathbb{R}\}.
Isso é uma reta (subespaço de dimensão 1), não apenas \{0\}. Em particular o vetor (1,1,0) não nulo pertence simultaneamente a U e a W.

Passo 5

Concluímos: embora U+W=\mathbb{R}^3, a interseção U\cap W não é \{0\}. Como a soma direta exige as duas condições (soma total e interseção trivial), a condição de soma direta falha.
Portanto a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados