Dados
subespaços de
.
Temos que
.
Temos que
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
-
. -
.
A pergunta é verificar se vale
. Ou seja: a afirmação é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Primeiro lembramos o que significa soma direta de subespaços. Dizemos que
se, e somente se, valem simultaneamente duas coisas:
-
, onde
-
, ou seja, a interseção é apenas o vetor zero.
Vou verificar essas duas condições uma a uma.
Passo 3
Mostrando que
.
Pegue um vetor qualquer
. Posso escrevê-lo como soma
Aqui
porque seu terceiro componente é zero. E
porque em
vale
, logo a condição
de
é satisfeita. Assim todo
é soma de um elemento de
com um de
, portanto
.
Passo 4
Agora vamos calcular a interseção
.
Um vetor
pertence a
se satisfaz simultaneamente as condições de
e de
, isto é:
Portanto os vetores da interseção têm a forma
Escrevendo com parâmetro
temos
Isso é uma reta (subespaço de dimensão 1), não apenas
. Em particular o vetor
não nulo pertence simultaneamente a
e a
.
Passo 5
Concluímos: embora
, a interseção
não é
. Como a soma direta exige as duas condições (soma total e interseção trivial), a condição de soma direta falha.
Portanto a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falso.