Explique:
Quais condições um conjunto S_{3} com três vetores da forma ( u_{1}, u_{2}, u_{3} ) deve satisfazer para ser base de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Foi dado um conjunto com três vetores \,S_{3}=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}\, em \mathbb{R}^{3}.
  • A pergunta é: quais condições esses três vetores devem satisfazer para que S_{3} seja uma base de \mathbb{R}^{3}?

Passo 2

Definição clara e intuitiva de “base”.
  • Uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto de vetores que permite representar qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} de forma única como combinação linear desses vetores.
  • Em palavras: os vetores da base devem (i) gerar todo \mathbb{R}^{3} (ou seja, seu span é \mathbb{R}^{3}) e (ii) ser linearmente independentes (ou seja, não há redundância entre eles).

Passo 3

Formalizando as duas condições fundamentais (sem jargão técnico escondido).
  • Geração (span): Dizer que \{u_{1},u_{2},u_{3}\} gera \mathbb{R}^{3} significa que para todo vetor v\in\mathbb{R}^{3} existem escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
v=\alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}.
  • Independência linear: Dizer que u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente independentes significa que a única solução do sistema
\alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir uma combinação não trivial que dá o vetor zero, então há redundância e não é base.

Passo 4

Por que, em \mathbb{R}^{3}, basta verificar só uma das duas condições (intuição e prova curta).
  • Em \mathbb{R}^{3} a dimensão é 3. Resultado importante (sem prova longa): qualquer conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3}
    • que seja linearmente independente, automaticamente gera \mathbb{R}^{3};
    • que gere \mathbb{R}^{3}, automaticamente é linearmente independente.
  • Portanto, para três vetores em \mathbb{R}^{3} as duas condições são equivalentes: verificar uma basta. Isso facilita na prova: ou se verifica independência ou verifica-se que geram.

Passo 5

Testes práticos que você pode usar na hora da prova (passo a passo).
  • Método 1 — Determinante: coloque u_{1},u_{2},u_{3} como colunas (ou linhas) de uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}. Então A=[\,u_{1}\; u_{2}\; u_{3}\,].Se \det(A)\neq 0 então os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base. Se \det(A)=0 então não formam base.
    • Explicação curta do porquê: \det(A)\neq 0 indica que a transformação linear dada por A é invertível, equivalente a ter três vetores independentes que ocupam todo o espaço.
  • Método 2 — Eliminação de Gauss (rank / pivôs): aplique operações elementares na matriz A para levá-la à forma escalonada. Se houver pivô em cada linha (ou seja, três pivôs), então \operatorname{rank}(A)=3 e os vetores formam base. Se o posto for menor que 3, então não formam base.
    • Na prática: reduza até ver se aparece uma linha toda zero; se aparecer, posto < 3 → não é base.
  • Testes rápidos (inspeção rápida):
    • Se algum vetor for o vetor zero, então falha (não é independente).
    • Se dois vetores forem múltiplos um do outro (proporcionais), então falha.
    • Se um vetor puder ser escrito como combinação linear dos outros dois, então falha.
      Esses são contraexemplos simples para rejeitar a base rapidamente.

Passo 6

Mostrando passo a passo como aplicar o teste do determinante (exemplo numérico didático).
  • Tome, por exemplo, u_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad u_{2}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad u_{3}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\\[4pt]1\end{pmatrix}.Colocando-os como colunas da matriz A: A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 5\\[4pt] 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
  • Calcule \det(A) por expansão na primeira linha (ou qualquer outro método): \det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.Agora os determinantes 2\times2: \det\begin{pmatrix}1 & 5\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-5\cdot4=1-20=-19,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}=2\cdot4-1\cdot3=8-3=5.
Logo
\det(A)=1\cdot(-19)+2\cdot5=-19+10=-9.
  • Como \det(A)=-9\neq 0, concluímos que \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 7

Como proceder rápido na prova (checklist curtinho e confiável).
  • Passo A: escreva a matriz A=[u_{1}\;u_{2}\;u_{3}].
  • Passo B: calcule \det(A). Se conseguir fazer na cabeça ou por operações simples, ótimo.
    • Se \det(A)\neq 0 pare: é base.
    • Se \det(A)=0 continue: não é base.
  • Alternativa se não quiser calcular determinante: faça eliminação de Gauss e verifique se obteve 3 pivôs.
  • Sempre faça uma checagem rápida: vetores nulos, vetores proporcionais ou combinação óbvia entre eles já descartam a base (ganha tempo).

Passo 8

Resumo conceitual final (para decorar e usar na prova sem medo).
  • Os três vetores formam uma base de \mathbb{R}^{3} sse são linearmente independentes e/ou sse geram \mathbb{R}^{3}.
  • Testes equivalentes e práticos: \det([u_{1}\;u_{2}\;u_{3}])\neq 0 ou \operatorname{rank}([u_{1}\;u_{2}\;u_{3}])=3.

Passo 9

Dicas finais e encorajamento (rápido).
  • Se estiver com pressa na prova, tente primeiro a inspeção rápida (vetores proporcionais, vetor zero). Se nada óbvio aparecer, calcule o determinante: é o caminho mais direto.
  • Você consegue — siga o checklist do Passo 7 e pratique um ou dois exemplos antes da prova para pegar ritmo.

Resposta

Um conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3} sse satisfaz uma (qualquer) das condições equivalentes:
\text{(i) }u_{1},u_{2},u_{3}\text{ são linearmente independentes;}ã
\text{(ii) }\operatorname{span}\{u_{1},u_{2},u_{3}\}=\mathbb{R}^{3};
\text{(iii) }\det\big([u_{1}\;u_{2}\;u_{3}]\big)\neq 0;
\text{(iv) }\operatorname{rank}\big([u_{1}\;u_{2}\;u_{3}]\big)=3.

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