Explique:
Por que um conjunto
com quatro vetores da forma (
) não é base de
Por que um conjunto
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto
formado por quatro vetores, cada um da forma
. Ou seja, todos os vetores de
pertencem a
. A pergunta é: por que esse conjunto com quatro vetores não pode ser uma base de
?
Passo 2
Para começar, vamos lembrar com calma o que significa ser uma base — passo a passo, sem pressa:
- Um conjunto
de vetores é base de se e somente se satisfaz duas condições ao mesmo tempo: -
é linearmente independente. -
gera (ou “espalha”) todo , isto é, .
-
- Sobre linearmente independente: um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única solução do sistema é . Se existir alguma solução onde nem todos os são zero, dizemos que os vetores são linearmente dependentes. - Sobre gerar
: isso significa que qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Agora a ideia central: o espaço
tem dimensão
. Isso quer dizer, na prática, que qualquer base de
tem exatamente
vetores. Vou dar um argumento simples e direto (sem pressupor teoremas avançados) que mostra por que não é possível ter uma base com mais de
vetores.
Passo 4
Pegue quatro vetores quaisquer de
, chame-os de
. Considere a combinação linear nula
onde
são escalares desconhecidos. Cada
tem três componentes, então esta igualdade corresponde a um sistema linear de
equações (uma para cada componente) com
incógnitas
.
Um resultado básico de sistemas lineares — que você pode usar na prova sem calculadora — é: se um sistema homogêneo tem mais incógnitas do que equações (aqui
incógnitas e
equações), então ele sempre tem uma solução não trivial (isto é, existe uma solução onde nem todos os
são zero). A razão intuitiva: haverá pelo menos uma variável livre ao fazer eliminação (pensa em pivôs: no máximo dá para ter
pivôs, um por linha).
Portanto, existem escalares
, nem todos nulos, que satisfazem
o que significa que os quatro vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Se um conjunto é linearmente dependente, ele NÃO pode ser uma base (porque uma base exige linearidade independente). Concluímos, então, que qualquer conjunto com
vetores em
é automaticamente descartado como candidato a base: falha na condição de independência linear.
Passo 6
Um jeito alternativo, curto e útil para levar para a prova: coloque os quatro vetores como colunas de uma matriz
de tamanho
. O posto (rank) dessa matriz satisfaz
porque há só 3 linhas; isso implica que as colunas não podem ser independentes quando são 4, pois o posto máximo é menor que o número de colunas. Logo, dependência linear e não-base.
Passo 7
Um exemplo concreto para fixar a intuição (útil na hora da prova para explicar rapidinho): pegue as três direções padrões
e acrescente
. Então
mostrando explicitamente dependência. Isso ilustra geometricamente que em um espaço “3D” só são necessárias (e possíveis) três direções independentes; a quarta fica “presa” nas anteriores.
Resposta
Porque em
qualquer sistema homogêneo formado por quatro vetores como colunas tem mais incógnitas do que equações, daí existe combinação linear não trivial que anula esses vetores; portanto qualquer conjunto com quatro vetores em
é linearmente dependente e não pode ser base.