Explique:
Por que um conjunto S_{2} com quatro vetores da forma ( u_{1}, u_{2}, u_{3} ) não é base de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto S_{2} formado por quatro vetores, cada um da forma (u_{1},u_{2},u_{3}). Ou seja, todos os vetores de S_{2} pertencem a \mathbb{R}^{3}. A pergunta é: por que esse conjunto com quatro vetores não pode ser uma base de \mathbb{R}^{3}?

Passo 2

Para começar, vamos lembrar com calma o que significa ser uma base — passo a passo, sem pressa:
  • Um conjunto B de vetores é base de \mathbb{R}^{3} se e somente se satisfaz duas condições ao mesmo tempo:
    1. B é linearmente independente.
    2. B gera (ou “espalha”) todo \mathbb{R}^{3}, isto é, \operatorname{span}(B)=\mathbb{R}^{3}.
  • Sobre linearmente independente: um conjunto de vetores v_{1},\dots,v_{k} é linearmente independente se a única solução do sistema c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{k}v_{k}=0é c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{k}=0. Se existir alguma solução onde nem todos os c_{i} são zero, dizemos que os vetores são linearmente dependentes.
  • Sobre gerar \mathbb{R}^{3}: isso significa que qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B.

Passo 3

Agora a ideia central: o espaço \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Isso quer dizer, na prática, que qualquer base de \mathbb{R}^{3} tem exatamente 3 vetores. Vou dar um argumento simples e direto (sem pressupor teoremas avançados) que mostra por que não é possível ter uma base com mais de 3 vetores.

Passo 4

Pegue quatro vetores quaisquer de \mathbb{R}^{3}, chame-os de v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}. Considere a combinação linear nula
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}+c_{4}v_{4}=0,
onde c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} são escalares desconhecidos. Cada v_{i} tem três componentes, então esta igualdade corresponde a um sistema linear de 3 equações (uma para cada componente) com 4 incógnitas c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}.
Um resultado básico de sistemas lineares — que você pode usar na prova sem calculadora — é: se um sistema homogêneo tem mais incógnitas do que equações (aqui 4 incógnitas e 3 equações), então ele sempre tem uma solução não trivial (isto é, existe uma solução onde nem todos os c_{i} são zero). A razão intuitiva: haverá pelo menos uma variável livre ao fazer eliminação (pensa em pivôs: no máximo dá para ter 3 pivôs, um por linha).
Portanto, existem escalares c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}, nem todos nulos, que satisfazem
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}+c_{4}v_{4}=0,
o que significa que os quatro vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Se um conjunto é linearmente dependente, ele NÃO pode ser uma base (porque uma base exige linearidade independente). Concluímos, então, que qualquer conjunto com 4 vetores em \mathbb{R}^{3} é automaticamente descartado como candidato a base: falha na condição de independência linear.

Passo 6

Um jeito alternativo, curto e útil para levar para a prova: coloque os quatro vetores como colunas de uma matriz A de tamanho 3\times4. O posto (rank) dessa matriz satisfaz \operatorname{rank}(A)\le 3 porque há só 3 linhas; isso implica que as colunas não podem ser independentes quando são 4, pois o posto máximo é menor que o número de colunas. Logo, dependência linear e não-base.

Passo 7

Um exemplo concreto para fixar a intuição (útil na hora da prova para explicar rapidinho): pegue as três direções padrões
e_{1}=(1,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0),\quad e_{3}=(0,0,1)
e acrescente v_{4}=(1,1,1). Então
v_{4}=e_{1}+e_{2}+e_{3},
mostrando explicitamente dependência. Isso ilustra geometricamente que em um espaço “3D” só são necessárias (e possíveis) três direções independentes; a quarta fica “presa” nas anteriores.

Resposta

Porque em \mathbb{R}^{3} qualquer sistema homogêneo formado por quatro vetores como colunas tem mais incógnitas do que equações, daí existe combinação linear não trivial que anula esses vetores; portanto qualquer conjunto com quatro vetores em \mathbb{R}^{3} é linearmente dependente e não pode ser base.

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