Dados A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 5 & -1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ 4 & -2 \\\\ 1 & 6\end{array}\right], determine AB .

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \\[4pt] 0 & 5 & -1\end{pmatrix}
e
B=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 4 & -2 \\[4pt] 1 & 6\end{pmatrix}
e pede para determinar AB.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ou seja, A é 2\times3.
  • A matriz B tem 3 linhas e 2 colunas, ou seja, B é 3\times2.
  • O produto AB é pedido.]

Passo 2

Antes de calcular, verificar compatibilidade de dimensões: o produto AB está definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
Aqui:
\text{nº colunas de }A = 3,\qquad \text{nº linhas de }B = 3,ºº
portanto o produto está definido. O resultado AB terá número de linhas igual ao de A e número de colunas igual ao de B, ou seja, AB será uma matriz 2\times2.

Passo 3

Regra de cálculo de entradas do produto: o elemento na linha i e coluna j de AB é dado por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,B_{kj}.
Explicando: para obter (AB)_{ij} multiplica-se elemento a elemento a i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B e soma-se os produtos. O índice k percorre as colunas de A (ou as linhas de B), aqui de 1 a 3.

Passo 4

Calcular (AB)_{11} (linha 1, coluna 1):
(AB)_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}.
Substituindo os valores:
(AB)_{11}=1\cdot 3 + 3\cdot 4 + 2\cdot 1.
Agora as contas:
1\cdot 3 = 3,\qquad 3\cdot 4 = 12,\qquad 2\cdot 1 = 2,
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(AB)_{11}=3+12+2=17.

Passo 5

Calcular (AB)_{12} (linha 1, coluna 2):
(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}+A_{13}B_{32}.
Substituindo:
(AB)_{12}=1\cdot 0 + 3\cdot (-2) + 2\cdot 6.
Contas:
1\cdot 0 = 0,\qquad 3\cdot (-2) = -6,\qquad 2\cdot 6 = 12,
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(AB)_{12}=0-6+12=6.

Passo 6

Calcular (AB)_{21} (linha 2, coluna 1):
(AB)_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}+A_{23}B_{31}.
Substituindo:
(AB)_{21}=0\cdot 3 + 5\cdot 4 + (-1)\cdot 1.
Contas:
0\cdot 3 = 0,\qquad 5\cdot 4 = 20,\qquad (-1)\cdot 1 = -1,
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(AB)_{21}=0+20-1=19.

Passo 7

Calcular (AB)_{22} (linha 2, coluna 2):
(AB)_{22}=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}+A_{23}B_{32}.
Substituindo:
(AB)_{22}=0\cdot 0 + 5\cdot (-2) + (-1)\cdot 6.
Contas:
0\cdot 0 = 0,\qquad 5\cdot (-2) = -10,\qquad (-1)\cdot 6 = -6,
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(AB)_{22}=0-10-6=-16.

Passo 8

Agrupar os elementos calculados e escrever a matriz produto:
AB=\begin{pmatrix} (AB)_{11} & (AB)_{12} \\[4pt] (AB)_{21} & (AB)_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}17 & 6 \\[4pt] 19 & -16\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}17 & 6 \\[4pt] 19 & -16\end{pmatrix}]

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