Escreva a matriz X=\left(a_{i j}\right), com 1 \leq i \leq 3, tal que \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=1 para \mathrm{i}=\mathrm{j} e \mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=0 para \mathrm{i} \neq \mathrm{j}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz X=(a_{ij}) com 1 \leq i \leq 3 e pede para escrevê-la. As informações fornecidas são:
  • Para índices iguais, isto é, quando i=j, vale a_{ij}=1.
  • Para índices diferentes, isto é, quando i\neq j, vale a_{ij}=0.
    O que se pede: escrever explicitamente a matriz X de ordem 3 com esses elementos.

Passo 2

Explicando a notação a_{ij}: aqui i indica a linha e j indica a coluna. Por exemplo, a_{12} é o elemento da primeira linha e segunda coluna; a_{31} é o elemento da terceira linha e primeira coluna. Sempre que i=j estamos na diagonal principal (elementos como a_{11},a_{22},a_{33}). Quando i\neq j estamos fora da diagonal principal (os chamados elementos fora-diagonal).

Passo 3

Aplicando a regra dada para a diagonal principal: como a_{ij}=1 quando i=j, obtemos explicitamente
a_{11}=1,\qquad a_{22}=1,\qquad a_{33}=1.
Aplicando a regra para os elementos fora da diagonal: como a_{ij}=0 quando i\neq j, listamos todos os seis elementos fora-diagonal para 3\times3:
a_{12}=0,\quad a_{13}=0,\quad a_{21}=0,\quad a_{23}=0,\quad a_{31}=0,\quad a_{32}=0.

Passo 4

Vamos montar a matriz linha a linha. A primeira linha contém a_{11},a_{12},a_{13}, portanto é (1,0,0). A segunda linha contém a_{21},a_{22},a_{23}, portanto é (0,1,0). A terceira linha contém a_{31},a_{32},a_{33}, portanto é (0,0,1).

Passo 5

Escrevendo a matriz X em forma matricial (cada linha entre parênteses na ordem das linhas):
X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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