Em geral, na multiplicação de matrizes, \mathrm{AB} \neq \mathrm{BA}. Calcule AB e BA para as matrizes abaixo e discutam no grupo: por que essa propriedade é tão diferente da multiplicação de números reais que aprendemos na escola?
O enunciado pede para calcular as matrizes AB e BA para as matrizes dadas e discutir por que, em geral, \mathrm{AB}\neq\mathrm{BA}. As informações fornecidas são:
Precisamos calcular explicitamente AB e BA (produtos de matrizes 2×2) e explicar didaticamente por que a multiplicação de matrizes não tem, em geral, a propriedade comutativa que os números reais têm.]
Passo 2
Fórmula e ideia para multiplicar matrizes: seja C=AB onde A e B são matrizes 2\times2. O elemento na linha i e coluna j de C é dado por
C_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Interpretação prática: para obter C_{ij} faz-se o produto escalar (dot product) da linha i de A com a coluna j de B. Vou usar essa fórmula para calcular cada entrada passo a passo.
Passo 3
Calcular AB. Primeiro encontramos os elementos de AB usando a fórmula.
Resumo dos valores obtidos para os elementos de BA:
(BA)_{11}=3,
(BA)_{12}=4,
(BA)_{21}=1,
(BA)_{22}=2.
Observação imediata: pelos números obtidos os produtos AB e BA têm entradas diferentes (por exemplo, (AB)_{11}=2 enquanto (BA)_{11}=3), logo AB\neq BA. Mas vamos entender didaticamente por que isso é natural.
Passo 9
Interpretação com matrizes e permutações: a matriz
B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
é a matriz que troca as duas coordenadas (chama-se matriz de permutação ou de troca). Propriedades úteis:
Multiplicar A à direita por B (fazer AB) corresponde a trocar as colunas de A. Para ver isso em palavras: a coluna j de AB é A vezes a coluna j de B; como as colunas de B são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} trocadas, isso resulta nas colunas de A trocadas. No caso, as colunas de A são \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}; trocar dá as colunas \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}, que foram os valores usados em AB.
Multiplicar A à esquerda por B (fazer BA) corresponde a trocar as linhas de A. As linhas de A são (1,2) e (3,4); trocar resulta em (3,4) e (1,2), que aparecem em BA.
Dessa forma fica claro: trocar colunas e trocar linhas são operações distintas — a ordem importa. Multiplicar por B à direita não é o mesmo que multiplicar por B à esquerda.]
Passo 10
Interpretação mais geral (transformações lineares): pense em matrizes como representações de transformações lineares no plano. Para um vetor \mathbf{x}, (AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x}) significa "aplica B primeiro, depois A". Já (BA)\mathbf{x}=B(A\mathbf{x}) significa "aplica A primeiro, depois B". Em geral, aplicar uma transformação e depois outra dá resultado diferente de aplicar na ordem inversa — composição de funções não é comutativa. Assim, a não comutatividade das matrizes reflete a não comutatividade da composição de transformações.
Passo 11
Exemplo numérico rápido mostrando ordem diferente num vetor: tome \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Primeiro AB: B\mathbf{v}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} (troca coordenadas), depois A(B\mathbf{v})=A\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}= segunda coluna de A=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}. Logo (AB)\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Agora BA: A\mathbf{v}= primeira coluna de A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}, depois B(A\mathbf{v})= troca das coordenadas de \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}. Logo (BA)\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Como \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}, os efeitos sobre o vetor são diferentes — reforçando que AB\neq BA.]
Passo 12
Resumo conceitual e dica para prova:
Regra prática: use a definição por produto de linhas por colunas para calcular entradas; organize os cálculos entrada a entrada e evite atalhos sem verificar.
Conceito: multiplicação de matrizes corresponde a composição de transformações lineares; composição em geral não é comutativa, por isso não se espera que AB=BA.
Dica mnemônica: multiplicar à direita por uma matriz que permuta colunas troca as colunas; multiplicar à esquerda por ela troca as linhas — isso ajuda a prever resultados rápidos em casos de matrizes de permutação como B.