Em geral, na multiplicação de matrizes, \mathrm{AB} \neq \mathrm{BA}. Calcule AB e BA para as matrizes abaixo e discutam no grupo: por que essa propriedade é tão diferente da multiplicação de números reais que aprendemos na escola?
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular as matrizes AB e BA para as matrizes dadas e discutir por que, em geral, \mathrm{AB}\neq\mathrm{BA}. As informações fornecidas são:
  • A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Precisamos calcular explicitamente AB e BA (produtos de matrizes 2×2) e explicar didaticamente por que a multiplicação de matrizes não tem, em geral, a propriedade comutativa que os números reais têm.]

Passo 2

Fórmula e ideia para multiplicar matrizes: seja C=AB onde A e B são matrizes 2\times2. O elemento na linha i e coluna j de C é dado por
C_{ij}=\sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Interpretação prática: para obter C_{ij} faz-se o produto escalar (dot product) da linha i de A com a coluna j de B. Vou usar essa fórmula para calcular cada entrada passo a passo.

Passo 3

Calcular AB. Primeiro encontramos os elementos de AB usando a fórmula.
  • Elemento (1,1) de AB:
(AB)_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=1\cdot0+2\cdot1=0+2=2.
  • Elemento (1,2) de AB:
(AB)_{12}=A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}=1\cdot1+2\cdot0=1+0=1.

Passo 4

Continuando os elementos da segunda linha de AB:
  • Elemento (2,1) de AB:
(AB)_{21}=A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}=3\cdot0+4\cdot1=0+4=4.
  • Elemento (2,2) de AB:
(AB)_{22}=A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}=3\cdot1+4\cdot0=3+0=3.

Passo 5

Resumo dos valores obtidos para os elementos de AB (a montagem final da matriz será colocada somente na seção de resposta):
  • (AB)_{11}=2,
  • (AB)_{12}=1,
  • (AB)_{21}=4,
  • (AB)_{22}=3.

Passo 6

Agora calcular BA (trocar ordem). Usamos a mesma fórmula com B como a primeira matriz e A como a segunda.
  • Elemento (1,1) de BA:
(BA)_{11}=B_{11}A_{11}+B_{12}A_{21}=0\cdot1+1\cdot3=0+3=3.
  • Elemento (1,2) de BA:
(BA)_{12}=B_{11}A_{12}+B_{12}A_{22}=0\cdot2+1\cdot4=0+4=4.

Passo 7

Continuando os elementos da segunda linha de BA:
  • Elemento (2,1) de BA:
(BA)_{21}=B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}=1\cdot1+0\cdot3=1+0=1.
  • Elemento (2,2) de BA:
(BA)_{22}=B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22}=1\cdot2+0\cdot4=2+0=2.

Passo 8

Resumo dos valores obtidos para os elementos de BA:
  • (BA)_{11}=3,
  • (BA)_{12}=4,
  • (BA)_{21}=1,
  • (BA)_{22}=2.
Observação imediata: pelos números obtidos os produtos AB e BA têm entradas diferentes (por exemplo, (AB)_{11}=2 enquanto (BA)_{11}=3), logo AB\neq BA. Mas vamos entender didaticamente por que isso é natural.

Passo 9

Interpretação com matrizes e permutações: a matriz
B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
é a matriz que troca as duas coordenadas (chama-se matriz de permutação ou de troca). Propriedades úteis:
  • Multiplicar A à direita por B (fazer AB) corresponde a trocar as colunas de A. Para ver isso em palavras: a coluna j de AB é A vezes a coluna j de B; como as colunas de B são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} trocadas, isso resulta nas colunas de A trocadas. No caso, as colunas de A são \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}; trocar dá as colunas \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}, que foram os valores usados em AB.
  • Multiplicar A à esquerda por B (fazer BA) corresponde a trocar as linhas de A. As linhas de A são (1,2) e (3,4); trocar resulta em (3,4) e (1,2), que aparecem em BA.
Dessa forma fica claro: trocar colunas e trocar linhas são operações distintas — a ordem importa. Multiplicar por B à direita não é o mesmo que multiplicar por B à esquerda.]

Passo 10

Interpretação mais geral (transformações lineares): pense em matrizes como representações de transformações lineares no plano. Para um vetor \mathbf{x}, (AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x}) significa "aplica B primeiro, depois A". Já (BA)\mathbf{x}=B(A\mathbf{x}) significa "aplica A primeiro, depois B". Em geral, aplicar uma transformação e depois outra dá resultado diferente de aplicar na ordem inversa — composição de funções não é comutativa. Assim, a não comutatividade das matrizes reflete a não comutatividade da composição de transformações.

Passo 11

Exemplo numérico rápido mostrando ordem diferente num vetor: tome \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Primeiro AB: B\mathbf{v}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} (troca coordenadas), depois A(B\mathbf{v})=A\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}= segunda coluna de A=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}. Logo (AB)\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  • Agora BA: A\mathbf{v}= primeira coluna de A=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}, depois B(A\mathbf{v})= troca das coordenadas de \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}. Logo (BA)\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Como \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}, os efeitos sobre o vetor são diferentes — reforçando que AB\neq BA.]

Passo 12

Resumo conceitual e dica para prova:
  • Regra prática: use a definição por produto de linhas por colunas para calcular entradas; organize os cálculos entrada a entrada e evite atalhos sem verificar.
  • Conceito: multiplicação de matrizes corresponde a composição de transformações lineares; composição em geral não é comutativa, por isso não se espera que AB=BA.
  • Dica mnemônica: multiplicar à direita por uma matriz que permuta colunas troca as colunas; multiplicar à esquerda por ela troca as linhas — isso ajuda a prever resultados rápidos em casos de matrizes de permutação como B.

Resposta

AB=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}
BA=\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}]

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