Dados
. Prove que:
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá três números naturais
e pede para provar a afirmação:
Informações relevantes fornecidas:
- Sabem-se as desigualdades entre
e : temos . -
é um natural arbitrário (pode ser ou maior).
O que será demonstrado: mostrar que multiplicar porpreserva a desigualdade estrita, tratando com cuidado o caso .
Passo 2
Definição útil da ordem nos naturais (forma usual): para
,
Explicação dessa definição em palavras: dizer que
significa que existe um número natural positivo
tal que somando
a
obtemos
. Esta definição será usada para transformar desigualdades em igualdades com uma “diferença” explícita.
Passo 3
Lema (adição preserva desigualdade): para quaisquer
,
Prova do lema: se
, pela definição do passo anterior existe
com
tal que
. Somando
aos dois lados obtemos
Pela definição de
(existe um número natural positivo que somado a
dá
), segue
. Isso prova o lema. Em palavras: somar a mesma quantidade em ambos os lados não altera (nem inverte) a relação de ordem.
Passo 4
Observação sobre o caso
: se
então
logo
e a desigualdade estrita não vale. Assim, a afirmação original só pode ser verdadeira na forma estrita quando
. A partir de agora mostramos a afirmação para todo
com
.
Passo 5
Prova por indução em
(para
) da propriedade
Base da indução (
). Se
então
pois
por hipótese. Logo a propriedade vale para
.
Passo indutivo. Suponha que a propriedade vale para
, isto é, suponha
Queremos provar que vale para
, isto é,
.
Começamos a partir da hipótese indutiva
. Aplicando o lema do Passo 3 com
,
e
, obtemos
Agora aplicamos o lema do Passo 3 à desigualdade
somando
em ambos os lados, o que dá
Pelo princípio da transitividade da ordem (se
e
então
) obtemos
Mas
e
. Portanto
Isto completa o passo indutivo.
Passo 6
Conclusão da indução: para todo
com
, se
então
. Lembrando a observação do Passo 4, o caso
dá igualdade
e portanto a desigualdade estrita não se mantém quando
.