Dados m, n, p \in \mathbb{N}. Prove que:
Se m<n, então m \cdot p<n \cdot p

Passo 1

O enunciado dá três números naturais m,n,p\in\mathbb{N} e pede para provar a afirmação:
\text{Se } m<n \text{ então } m\cdot p < n\cdot p.ã
Informações relevantes fornecidas:
  • Sabem-se as desigualdades entre m e n: temos m<n.
  • p é um natural arbitrário (pode ser 0 ou maior).
    O que será demonstrado: mostrar que multiplicar por p preserva a desigualdade estrita, tratando com cuidado o caso p=0.

Passo 2

Definição útil da ordem nos naturais (forma usual): para a,b\in\mathbb{N},
a<b \quad\Longleftrightarrow\quad \exists t\in\mathbb{N},\\ t\ge 1,\\ \text{tal que } b=a+t.
Explicação dessa definição em palavras: dizer que a<b significa que existe um número natural positivo t tal que somando t a a obtemos b. Esta definição será usada para transformar desigualdades em igualdades com uma “diferença” explícita.

Passo 3

Lema (adição preserva desigualdade): para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N},
\text{se } a<b \text{ então } a+c < b+c.ã
Prova do lema: se a<b, pela definição do passo anterior existe t\in\mathbb{N} com t\ge 1 tal que b=a+t. Somando c aos dois lados obtemos
b+c = (a+t)+c = (a+c)+t.
Pela definição de < (existe um número natural positivo que somado a a+c b+c), segue a+c < b+c. Isso prova o lema. Em palavras: somar a mesma quantidade em ambos os lados não altera (nem inverte) a relação de ordem.

Passo 4

Observação sobre o caso p=0: se p=0 então
m\cdot p = m\cdot 0 = 0 \quad\text{e}\quad n\cdot p = n\cdot 0 = 0,
logo m\cdot p = n\cdot p e a desigualdade estrita não vale. Assim, a afirmação original só pode ser verdadeira na forma estrita quando p\ge 1. A partir de agora mostramos a afirmação para todo p\in\mathbb{N} com p\ge 1.

Passo 5

Prova por indução em p (para p\ge 1) da propriedade
\text{se } m<n \text{ então } m\cdot p < n\cdot p.ã
Base da indução ( p=1). Se p=1 então
m\cdot 1 = m < n = n\cdot 1,
pois m<n por hipótese. Logo a propriedade vale para p=1.
Passo indutivo. Suponha que a propriedade vale para p=k, isto é, suponha
m< n \quad\Longrightarrow\quad m\cdot k < n\cdot k.
Queremos provar que vale para p=k+1, isto é, m< n \Longrightarrow m\cdot(k+1) < n\cdot(k+1).
Começamos a partir da hipótese indutiva m\cdot k < n\cdot k. Aplicando o lema do Passo 3 com a=m\cdot k, b=n\cdot k e c=m, obtemos
m\cdot k + m < n\cdot k + m.
Agora aplicamos o lema do Passo 3 à desigualdade m<n somando n\cdot k em ambos os lados, o que dá
n\cdot k + m < n\cdot k + n.
Pelo princípio da transitividade da ordem (se x<y e y<z então x<z) obtemos
m\cdot k + m < n\cdot k + n.
Mas m\cdot k + m = m\cdot(k+1) e n\cdot k + n = n\cdot(k+1). Portanto
m\cdot(k+1) < n\cdot(k+1).
Isto completa o passo indutivo.

Passo 6

Conclusão da indução: para todo p\in\mathbb{N} com p\ge 1, se m<n então m\cdot p < n\cdot p. Lembrando a observação do Passo 4, o caso p=0 dá igualdade m\cdot 0 = n\cdot 0 e portanto a desigualdade estrita não se mantém quando p=0.

Resposta

\text{Se }m<n\text{ e }p\ge 1\text{ então }m\cdot p < n\cdot p.ã
\text{Se }p=0\text{ então }m\cdot p = n\cdot p = 0ã

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