Duas funções
e
têm derivadas de primeira e segunda ordem em 0 e satisfazem as relações
Considere
sen
, e calcule
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos (todos os valores são em
):
(Observe que todas as grandezas acima referem-se ao ponto
.)
- O enunciado pede: calcular a derivada
de
Passo 2
Relembrando a regra de derivação que vamos usar (aula rápida e prática):
- Regra do produto (caso de três fatores): se
são diferenciáveis, então Aqui cada termo corresponde a derivar um dos fatores deixando os outros sem derivar, e somar os resultados. - Derivada da função seno: para todo
,
Essas duas ideias juntas nos permitem derivar
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto para três fatores com
,
e
, obtemos a expressão geral de
:
Passo 4
Agora avaliamos a expressão de
em
. Substituindo
na expressão acima:
Usamos os valores trigonométricos conhecidos
e
. Assim os dois primeiros termos, que têm fator
, anulam-se, sobrando
Explicando: como
, qualquer termo multiplicado por
vira zero, restando apenas o termo com
.
Passo 5
Usamos agora a relação direta dada no enunciado para calcular
. O enunciado afirma
Multiplicando ambos os lados por
vem
(Para checar consistência: da cadeia
temos
; então
seria
e o produto
, compatível.)