Duas funções f e g têm derivadas de primeira e segunda ordem em 0 e satisfazem as relações
f(0)=\frac{2}{g(0)}, \quad f^{\prime}(0)=2 g^{\prime}(0)=4 g(0), \quad g^{\prime \prime}=5 f^{\prime \prime}(0)=6 f(0)=3
Considere k(x)=f(x) g(x) sen x, e calcule k^{\prime}(0);

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (todos os valores são em x=0): f(0)=\frac{2}{g(0)},
f'(0)=2\,g'(0)=4\,g(0),
g''(0)=5\,f''(0)=6\,f(0)=3.
(Observe que todas as grandezas acima referem-se ao ponto 0.)
  • O enunciado pede: calcular a derivada k'(0) de k(x)=f(x)\,g(x)\,\operatorname{sen} x.

Passo 2

Relembrando a regra de derivação que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Regra do produto (caso de três fatores): se u(x),v(x),w(x) são diferenciáveis, então (u v w)' = u' v w + u v' w + u v w'.Aqui cada termo corresponde a derivar um dos fatores deixando os outros sem derivar, e somar os resultados.
  • Derivada da função seno: para todo x, (\operatorname{sen} x)' = \cos x.
Essas duas ideias juntas nos permitem derivar k(x)=f(x)g(x)\operatorname{sen} x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para três fatores com u=f, v=g e w=\operatorname{sen}, obtemos a expressão geral de k'(x):
k'(x)=f'(x)\,g(x)\,\operatorname{sen} x + f(x)\,g'(x)\,\operatorname{sen} x + f(x)\,g(x)\,\cos x.

Passo 4

Agora avaliamos a expressão de k'(x) em x=0. Substituindo x=0 na expressão acima:
k'(0)=f'(0)\,g(0)\,\operatorname{sen} 0 + f(0)\,g'(0)\,\operatorname{sen} 0 + f(0)\,g(0)\,\cos 0.
Usamos os valores trigonométricos conhecidos \operatorname{sen} 0=0 e \cos 0=1. Assim os dois primeiros termos, que têm fator \operatorname{sen} 0, anulam-se, sobrando
k'(0)=f(0)\,g(0).
Explicando: como \operatorname{sen} 0=0, qualquer termo multiplicado por \operatorname{sen} 0 vira zero, restando apenas o termo com \cos 0=1.

Passo 5

Usamos agora a relação direta dada no enunciado para calcular f(0)\,g(0). O enunciado afirma
f(0)=\frac{2}{g(0)}.
Multiplicando ambos os lados por g(0) vem
f(0)\,g(0)=2.
(Para checar consistência: da cadeia 6\,f(0)=3 temos f(0)=\tfrac{1}{2}; então g(0) seria 4 e o produto f(0)g(0)=\tfrac{1}{2}\cdot 4=2, compatível.)

Resposta

2

Exercícios relacionados