Duas funções f e g têm derivadas de primeira e segunda ordem em 0 e satisfazem as relações
f(0)=\frac{2}{g(0)}, \quad f^{\prime}(0)=2 g^{\prime}(0)=4 g(0), \quad g^{\prime \prime}=5 f^{\prime \prime}(0)=6 f(0)=3
Calcule o limite de \frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} quando x \rightarrow 0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Informações fornecidas (todas avaliadas em 0): f(0)=\frac{2}{g(0)},
f^{\prime}(0)=2\,g^{\prime}(0)=4\,g(0),
g^{\prime\prime}(0)=5\,f^{\prime\prime}(0)=6\,f(0)=3.
  • O que se pede:
    Calcular o limite \lim_{x\to 0}\frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}.

Passo 2

Primeiro extrair valores numéricos imediatos das igualdades encadeadas em 0.
Da igualdade 6\,f(0)=3 segue
f(0)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Usando f(0)=\dfrac{2}{g(0)} (peguei esse dado do enunciado), obtemos
\frac{1}{2}=\frac{2}{g(0)} \quad\Rightarrow\quad g(0)=4.
Da igualdade f^{\prime}(0)=4\,g(0) (dado do enunciado) segue
f^{\prime}(0)=4\cdot g(0)=4\cdot 4=16.
Como também f^{\prime}(0)=2\,g^{\prime}(0), temos
2\,g^{\prime}(0)=16 \quad\Rightarrow\quad g^{\prime}(0)=8.
Finalmente, da cadeia g^{\prime\prime}(0)=5\,f^{\prime\prime}(0)=3 (peguei isso do enunciado) segue
f^{\prime\prime}(0)=\frac{3}{5},\qquad g^{\prime\prime}(0)=3.
Resumindo os valores que encontramos (todos no ponto 0):
f(0)=\frac{1}{2},\quad g(0)=4,\quad f^{\prime}(0)=16,\quad g^{\prime}(0)=8,\quad f^{\prime\prime}(0)=\frac{3}{5},\quad g^{\prime\prime}(0)=3.

Passo 3

Agora, justificar por que podemos substituir x\to 0 pelos valores em 0 dentro do quociente \dfrac{g'(x)}{f'(x)}.
  • Se uma função tem derivada segunda em 0, então sua derivada primeira é diferenciável em 0; diferenciabilidade em um ponto implica continuidade naquele ponto. Logo, do fato de existirem f^{\prime\prime}(0) e g^{\prime\prime}(0) (dados), segue que f^{\prime} e g^{\prime} são contínuas em 0.
  • Pelo resultado anterior, \lim_{x\to 0} f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0),\qquad \lim_{x\to 0} g^{\prime}(x)=g^{\prime}(0).
  • Como f^{\prime}(0)=16\neq 0, o denominador não se anula, portanto o limite do quociente é o quociente dos limites: \lim_{x\to 0}\frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} =\frac{\lim_{x\to 0}g^{\prime}(x)}{\lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)} =\frac{g^{\prime}(0)}{f^{\prime}(0)}.
(Alternativa equivalente e mais técnica: usar as expansões de Taylor em primeira ordem
f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)+f^{\prime\prime}(0)\,x+o(x), \qquad g^{\prime}(x)=g^{\prime}(0)+g^{\prime\prime}(0)\,x+o(x),
e dividir, obter que o limite é \dfrac{g^{\prime}(0)}{f^{\prime}(0)} porque o termo constante domina quando x\to 0.)

Passo 4

Calcular o quociente usando os valores que obtivemos no Passo 2:
\frac{g^{\prime}(0)}{f^{\prime}(0)}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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