Duas funções
e
têm derivadas de primeira e segunda ordem em 0 e satisfazem as relações
Calcule o limite de
quando
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Informações fornecidas (todas avaliadas em
):
- O que se pede:
Calcular o limite
Passo 2
Primeiro extrair valores numéricos imediatos das igualdades encadeadas em
.
Da igualdade
segue
Usando
(peguei esse dado do enunciado), obtemos
Da igualdade
(dado do enunciado) segue
Como também
, temos
Finalmente, da cadeia
(peguei isso do enunciado) segue
Resumindo os valores que encontramos (todos no ponto
):
Passo 3
Agora, justificar por que podemos substituir
pelos valores em
dentro do quociente
.
- Se uma função tem derivada segunda em
, então sua derivada primeira é diferenciável em ; diferenciabilidade em um ponto implica continuidade naquele ponto. Logo, do fato de existirem e (dados), segue que e são contínuas em . - Pelo resultado anterior,
- Como
, o denominador não se anula, portanto o limite do quociente é o quociente dos limites:
(Alternativa equivalente e mais técnica: usar as expansões de Taylor em primeira ordem
e dividir, obter que o limite é
porque o termo constante domina quando
.)
Passo 4
Calcular o quociente usando os valores que obtivemos no Passo 2: