1. Dados k \in \mathbb{N} e a>0, determine o limite
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^{k} \cdot a^{n}}
Supondo a>0 e a \neq e calcule
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n} \cdot n!}{n^{n}} \quad \text { e } \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{k} \cdot a^{n} \cdot n!}{n^{n}} .
(Para o caso a=e, ver exercício 9 , seção 1 , capítulo 11.)

Passo 1

O enunciado pede três limites envolvendo a sequência
a_n=\frac{n!}{n^{k}\,a^{n}},
e depois duas variantes
b_n=\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}}, \quad c_n=\frac{n^{k}\,a^{n}\,n!}{n^{n}},
onde k\in\mathbb{N} e a>0. O conteúdo é análise de limites de sequências que crescem mais que exponenciais, e vamos usar o teste da razão e a fórmula de Stirling
n!\sim n^{n}e^{-n}\sqrt{2\pi n}
para ver o comportamento assintótico.

Passo 2

Para
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}a^{n}},
aplicamos o teste da razão. Seja
u_n=\frac{n!}{n^{k}a^{n}}.
Então
\frac{u_{n+1}}{u_n} =\frac{(n+1)!}{(n+1)^{k}a^{\,n+1}} \cdot\frac{n^{k}a^{\,n}}{n!} =\frac{n+1}{a}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{k}.
Para n grande isso se comporta como \frac{n}{a}\to\infty. Como a razão eventualmente é maior que 1 e cresce sem limite, a sequência diverge para +\infty.

Passo 3

Concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}a^{n}}=+\infty.

Passo 4

Agora analisamos
\displaystyle b_n=\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}}
usando Stirling. Para n grande
n!\sim n^{n}e^{-n}\sqrt{2\pi n},
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b_n =\frac{a^{n}}{n^{n}}\;n! \sim\frac{a^{n}}{n^{n}}\;n^{n}e^{-n}\sqrt{2\pi n} =\sqrt{2\pi n}\,\bigl(\tfrac{a}{e}\bigr)^{n}.
Dessa forma b_n comporta-se como \sqrt{n}\,(a/e)^n.

Passo 5

Se a<e então (a/e)^n\to0 exponencialmente e domina o fator \sqrt{n}, dando
\lim_{n\to\infty}b_n=0.
Se a>e então (a/e)^n\to+\infty, logo
\lim_{n\to\infty}b_n=+\infty.

Passo 6

Para
\displaystyle c_n=\frac{n^{k}\,a^{n}\,n!}{n^{n}}=n^{k}b_n,
basta multiplicar b_n por n^k. Isso não altera o caráter exponencial do fator (a/e)^n, portanto
\lim_{n\to\infty}c_n =\begin{cases} 0,&a<e,\\\\ +\infty,&a>e. \end{cases}

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}a^{n}}=+\infty.
Se a\neq e, então
\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n}n!}{n^{n}} =\begin{cases} 0,&a<e,\\\\ +\infty,&a>e, \end{cases} \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n^{k}a^{n}n!}{n^{n}} =\begin{cases} 0,&a<e,\\\\ +\infty,&a>e. \end{cases}

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