onde k\in\mathbb{N} e a>0. O conteúdo é análise de limites de sequências que crescem mais que exponenciais, e vamos usar o teste da razão e a fórmula de Stirling
n!\sim n^{n}e^{-n}\sqrt{2\pi n}
para ver o comportamento assintótico.
Passo 2
Para \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}a^{n}},
aplicamos o teste da razão. Seja
Para n grande isso se comporta como \frac{n}{a}\to\infty. Como a razão eventualmente é maior que 1 e cresce sem limite, a sequência diverge para +\infty.
Passo 3
Concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}a^{n}}=+\infty.
Passo 4
Agora analisamos \displaystyle b_n=\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}}
usando Stirling. Para n grande
Dessa forma b_n comporta-se como \sqrt{n}\,(a/e)^n.
Passo 5
Se a<e então (a/e)^n\to0 exponencialmente e domina o fator \sqrt{n}, dando
\lim_{n\to\infty}b_n=0.
Se a>e então (a/e)^n\to+\infty, logo
\lim_{n\to\infty}b_n=+\infty.
Passo 6
Para \displaystyle c_n=\frac{n^{k}\,a^{n}\,n!}{n^{n}}=n^{k}b_n,
basta multiplicar b_n por n^k. Isso não altera o caráter exponencial do fator (a/e)^n, portanto