- Dados
e
, determine o limite
Supondo
e
calcule
(Para o caso
, ver exercício 9 , seção 1 , capítulo 11.)
Passo 1
O enunciado pede três limites envolvendo fatoriais, potências e polinômios em
. O conteúdo é análise assintótica de sequências usando a fórmula de Stirling para
:
Vamos aplicar essa aproximação para cada caso.
Passo 2
Recordando a fórmula de Stirling em forma assintótica:
Logo, para grandes
,
Como
, esse quociente explode.
Passo 3
Portanto,
Passo 4
Agora calculemos
Se
, então
e
vencendo o fator polinomial, logo o limite é
. Se
, então
e o produto diverge para
.
Passo 5
Por fim, para
O mesmo raciocínio vale: se
, o fator exponencial decai e o limite é
; se
, o fator exponencial cresce e o limite é
.
Resposta
Supondo
e
: