1. Dados k \in \mathbb{N} e a>0, determine o limite
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^{k} \cdot a^{n}}
Supondo a>0 e a \neq e calcule
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n} \cdot n!}{n^{n}} \quad \text { e } \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{k} \cdot a^{n} \cdot n!}{n^{n}} .
(Para o caso a=e, ver exercício 9 , seção 1 , capítulo 11.)

Passo 1

O enunciado pede três limites envolvendo fatoriais, potências e polinômios em n. O conteúdo é análise assintótica de sequências usando a fórmula de Stirling para n!:
n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n}.
Vamos aplicar essa aproximação para cada caso.

Passo 2

Recordando a fórmula de Stirling em forma assintótica:
n!\approx\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n}.
Logo, para grandes n,
\frac{n!}{n^{k}\,a^{n}} \approx \frac{\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}}{n^{k}\,a^{n}} = \sqrt{2\pi n}\;\frac{n^{n-k}}{(a\,e)^{n}} = \sqrt{2\pi n}\;\biggl(\frac{n}{a\,e}\biggr)^{n}n^{-k+\tfrac12}.
Como \frac{n}{a\,e}\to\infty, esse quociente explode.

Passo 3

Portanto,
\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}\,a^{n}} =\infty.

Passo 4

Agora calculemos
\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}} \approx \frac{a^{n}\,\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}}{n^{n}} = \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{a}{e}\Bigr)^{n}.
Se 0<a<e, então \frac{a}{e}<1 e \bigl(\tfrac{a}{e}\bigr)^{n}\to0 vencendo o fator polinomial, logo o limite é 0. Se a>e, então \bigl(\tfrac{a}{e}\bigr)^{n}\to\infty e o produto diverge para \infty.

Passo 5

Por fim, para
\frac{n^{k}\,a^{n}\,n!}{n^{n}} = n^{k}\;\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}} \approx n^{k}\,\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{a}{e}\Bigr)^{n} = \sqrt{2\pi}\;n^{k+\tfrac12}\,\Bigl(\frac{a}{e}\Bigr)^{n}.
O mesmo raciocínio vale: se a<e, o fator exponencial decai e o limite é 0; se a>e, o fator exponencial cresce e o limite é \infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^{k}\,a^{n}}=\infty.
Supondo a>0 e a\neq e:
\lim_{n\to\infty}\frac{a^{n}\,n!}{n^{n}} = \begin{cases} 0,&0<a<e,\\\ \infty,&a>e, \end{cases} \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n^{k}\,a^{n}\,n!}{n^{n}} = \begin{cases} 0,&0<a<e,\\\ \infty,&a>e. \end{cases}

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