1. Dados a, b \in \mathbb{R}^{+}com a^{2}<2<b^{2}, tome x, y \in \mathbb{R}^{+}tais que x<1, x<\left(2-a^{2}\right) /(2 a+1) e y<\left(b^{2}-2\right) / 2 b. Prove que (a+x)^{2}<2<(b-y)^{2} e b-y>0. Em seguida, considere o conjunto limitado X=\left\{a \in \mathbb{R}^{+} ; a^{2}<2\right\} e conclua que o número real c=\sup X cumpre c^{2}=2. Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz
    de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.

Passo 1

O enunciado tem duas partes principais. Na primeira, dado a,b>0 com
a^2<2<b^2,
escolhemos x,y>0 satisfazendo
x<1,\quad x<\frac{2-a^2}{2a+1}, \qquad y<\frac{b^2-2}{2b},
e precisamos provar
(a+x)^2<2<(b-y)^2 \quad\text{e}\quad b-y>0.
Em seguida, definimos
X=\{\,a>0: a^2<2\}
e mostramos que c=\sup X satisfaz c^2=2. Na segunda parte, provamos que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável, daí o conjunto dos números algébricos (raízes desses polinômios) é enumerável e, como \Bbb R é não enumerável, existem números transcendentes.

Passo 2

Queremos (a+x)^2<2. Observe
(a+x)^2 = a^2 + 2ax + x^2.
Como 0<x<1, temos x^2<x. Logo
(a+x)^2 < a^2 + 2ax + x.
Mas por hipótese x<\frac{2-a^2}{2a+1}, ou seja
2ax + x < 2 - a^2.
Assim
(a+x)^2 < a^2 + (2 - a^2) = 2,
como queríamos.

Passo 3

Primeiro notamos que b-y> b - \tfrac{b^2-2}{2b} = \tfrac{2b^2 - (b^2-2)}{2b} = \tfrac{b^2+2}{2b}>0, então b-y>0.
Agora,
(b-y)^2 = b^2 - 2by + y^2 > b^2 - 2by
e, como y<\frac{b^2-2}{2b}, segue
-2by > -(b^2-2) \quad\Longrightarrow\quad b^2 - 2by > b^2 - (b^2 -2) = 2.
Portanto (b-y)^2>2.

Passo 4

Mostramos que X=\{a>0:a^2<2\} é não vazio (por exemplo 1\in X) e limitado superiormente (por exemplo por 2), logo c=\sup X existe.
Suponha, para chegar a contradição, que c^2<2. Então aplicamos o que já vimos com a=c: existe x>0 tal que (c+x)^2<2, isto é c+x\in X e c+x>c, violando a definição de supremo.
Por outro lado, se c^2>2, usamos o caso de b=c: existe y>0 tal que (c-y)^2>2 e c-y>0, o que mostra que c-y é cotinha superior de X menor que c, outra contradição.
Logo não há como c^2<2 nem c^2>2, ficando
c^2 = 2.

Passo 5

Cada polinômio não nulo com coeficientes inteiros pode ser escrito como
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,
onde n\in\Bbb N e a_n\neq0, todos a_i\in\Bbb Z. A coleção de todas as tuplas
(a_0,a_1,\dots,a_n)\in\Bbb Z^{n+1},\quad a_n\neq0,
para cada n, é numerável (produto finito de conjuntos numeráveis). Como há só contavelmente muitos n, o conjunto total de polinômios é união contável de conjuntos numeráveis, logo numerável.

Passo 6

Um número real é algébrico se é raiz de algum desses polinômios inteiros. Cada polinômio de grau n tem no máximo n raízes. Logo o conjunto de raízes é união, sobre todos os polinômios, de conjuntos finitos. É, portanto, união contável de finitos, isto é, numerável. Concluímos que o conjunto dos números algébricos é numerável.

Passo 7

Como \Bbb R é não numerável e o conjunto dos algébricos é numerável, o complemento (os números não algébricos, isto é, os transcendentais) é não numerável e, em particular, não vazio. Assim existem números transcendentes.

Resposta

Concluímos:
(a) Para a^2<2<b^2 e x,y conforme dados, vale (a+x)^2<2<(b-y)^2 e b-y>0.
(b) Para X=\{a>0:a^2<2\}, seu supremo c satisfaz c^2=2.
(c) O conjunto de polinômios com coeficientes inteiros é numerável.
(d) O conjunto de números algébricos é numerável.
(e) Consequentemente, existem números transcendentes.

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