- Dados
com
, tome
tais que
e
. Prove que
e
. Em seguida, considere o conjunto limitado
e conclua que o número real
cumpre
. Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. Um número real chama-se algébrico quando é raiz
de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.
de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que o conjunto dos números algébricos é enumerável. Um número real chama-se transcendente quando não é algébrico. Prove que existem números transcendentes.
Passo 1
O enunciado tem duas partes principais. Na primeira, dado
com
escolhemos
satisfazendo
e precisamos provar
Em seguida, definimos
e mostramos que
satisfaz
. Na segunda parte, provamos que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável, daí o conjunto dos números algébricos (raízes desses polinômios) é enumerável e, como
é não enumerável, existem números transcendentes.
Passo 2
Queremos
. Observe
Como
, temos
. Logo
Mas por hipótese
, ou seja
Assim
como queríamos.
Passo 3
Primeiro notamos que
, então
.
Agora,
Agora,
e, como
, segue
Portanto
.
Passo 4
Mostramos que
é não vazio (por exemplo
) e limitado superiormente (por exemplo por
), logo
existe.
Suponha, para chegar a contradição, que . Então aplicamos o que já vimos com
: existe
tal que
, isto é
e
, violando a definição de supremo.
Por outro lado, se , usamos o caso de
: existe
tal que
e
, o que mostra que
é cotinha superior de
menor que
, outra contradição.
Logo não há como nem
, ficando
Suponha, para chegar a contradição, que
Por outro lado, se
Logo não há como
Passo 5
Cada polinômio não nulo com coeficientes inteiros pode ser escrito como
onde
e
, todos
. A coleção de todas as tuplas
para cada
, é numerável (produto finito de conjuntos numeráveis). Como há só contavelmente muitos
, o conjunto total de polinômios é união contável de conjuntos numeráveis, logo numerável.
Passo 6
Um número real é algébrico se é raiz de algum desses polinômios inteiros. Cada polinômio de grau
tem no máximo
raízes. Logo o conjunto de raízes é união, sobre todos os polinômios, de conjuntos finitos. É, portanto, união contável de finitos, isto é, numerável. Concluímos que o conjunto dos números algébricos é numerável.
Passo 7
Como
é não numerável e o conjunto dos algébricos é numerável, o complemento (os números não algébricos, isto é, os transcendentais) é não numerável e, em particular, não vazio. Assim existem números transcendentes.
Resposta
Concluímos:
(a) Para e
conforme dados, vale
e
.
(b) Para , seu supremo
satisfaz
.
(c) O conjunto de polinômios com coeficientes inteiros é numerável.
(d) O conjunto de números algébricos é numerável.
(e) Consequentemente, existem números transcendentes.
(a) Para
(b) Para
(c) O conjunto de polinômios com coeficientes inteiros é numerável.
(d) O conjunto de números algébricos é numerável.
(e) Consequentemente, existem números transcendentes.