Resolva cada uma das integrais abaixo:
\iiint_{W} x^{2}+y^{2}+z^{2}, em que
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1,-1 \leqslant z \leqslant 3\right\} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla da função \,f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} sobre o sólido
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}\le1,\,-1\le z\le3\},
que é um cilindro de raio 1 e altura 4. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, onde
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},
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f(r,\theta,z)=r^{2}+z^{2},
e o jacobiano é r. Os limites são
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad -1\le z\le3.
Montamos a integral
\iiint_{W}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=-1}^{3}(r^{2}+z^{2})\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em z:
\int_{z=-1}^{3}(r^{2}+z^{2})\,r\,dz =r\int_{-1}^{3}r^{2}\,dz \;+\; r\int_{-1}^{3}z^{2}\,dz.
Como r é constante em z,
r\int_{-1}^{3}r^{2}\,dz =r\cdot r^{2}\bigl[z\bigr]_{-1}^{3} =r^{3}(3-(-1)) =4r^{3},
e
r\int_{-1}^{3}z^{2}\,dz =r\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{-1}^{3} =r\Bigl(\frac{27}{3}-\frac{-1}{3}\Bigr) =r\cdot\frac{28}{3} =\frac{28}{3}r.
Somando, obtemos
\int_{-1}^{3}(r^{2}+z^{2})\,r\,dz =4r^{3}+\frac{28}{3}r.

Passo 4

Agora integramos em r de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(4r^{3}+\frac{28}{3}r\Bigr)\,dr =4\int_{0}^{1}r^{3}\,dr +\frac{28}{3}\int_{0}^{1}r\,dr.
Calculando cada parte:
4\int_{0}^{1}r^{3}\,dr =4\cdot\frac{1}{4} =1,
\frac{28}{3}\int_{0}^{1}r\,dr =\frac{28}{3}\cdot\frac{1}{2} =\frac{14}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}\Bigl(4r^{3}+\frac{28}{3}r\Bigr)\,dr =1+\frac{14}{3} =\frac{17}{3}.

Passo 5

Finalmente integramos em \theta de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\frac{17}{3}\,d\theta =\frac{17}{3}\,(2\pi) =\frac{34\pi}{3}.

Resposta

\iiint_{W}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV =\frac{34\pi}{3}.

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