Resolva cada uma das integrais abaixo:
\iiint_{W} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}, em que W é a região limitada pelas esferas x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1 \mathrm{e} x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\iiint_{W}\frac{dx\,dy\,dz}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}
onde W é a região entre duas esferas concêntricas de raio 1 e 2.
O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para integrar funções radiais em regiões esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
com Jacobiano
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Além disso \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2} = r^{3}, então o integrando vira r^{-3}.

Passo 3

A integral tripla passa a ser
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=1}^{2} \frac{r^{2}\sin\varphi}{r^{3}} \,dr\,d\varphi\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{1}^{2} \frac{\sin\varphi}{r} \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a parte radial:
\int_{1}^{2}\frac{dr}{r} =\ln r\Big|_{1}^{2} =\ln 2.

Passo 5

Agora a parte angular:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi =2, \qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi.

Passo 6

Multiplicando todos os fatores temos
2\pi\;\times\;2\;\times\;\ln 2 =4\pi\,\ln 2.

Resposta

4\pi\ln 2

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