Dados
\mathbf{v}_{1}=\binom{1}{2}, \quad \mathbf{v}_{2}=\binom{2}{3}, \quad S=\left(\begin{array}{rr} 3 & 5 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right)
encontre vetores \mathbf{w}_{1} e \mathbf{w}_{2}, tais que S seja a matriz de transição de \left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}\right\} para \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix}
e a matriz de transição S da base \{\mathbf{w}_{1},\mathbf{w}_{2}\} para a base \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}:
S=\begin{pmatrix}3&5\\\ 1&-2\end{pmatrix}.
O que precisamos usar é o conceito de matriz de mudança de base: para todo vetor \mathbf{x},
[\mathbf{x}]_{\mathbf{v}} \;=\; S\,[\mathbf{x}]_{\mathbf{w}},
onde [\mathbf{x}]_{\mathbf{w}} e [\mathbf{x}]_{\mathbf{v}} são as coordenadas de \mathbf{x} nas bases \{\mathbf{w}_j\} e \{\mathbf{v}_j\}, respectivamente.

Passo 2

Tomando \mathbf{x}=\mathbf{w}_{j}, sua coordenada na base \{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2\} é o vetor canônico [\mathbf{w}_{j}]_{\mathbf{w}}=e_{j}. Logo
[\mathbf{w}_{j}]_{\mathbf{v}} \;=\; S\,e_{j} \;=\; \text{j-ésima coluna de }S.é

Passo 3

Como [\mathbf{w}_{j}]_{\mathbf{v}} dá as coordenadas de \mathbf{w}_{j} na base \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}, se a j-ésima coluna de S é \begin{pmatrix}s_{1j}\s_{2j}\end{pmatrix}, então
\mathbf{w}_{j} \;=\; s_{1j}\,\mathbf{v}_{1} \;+\; s_{2j}\,\mathbf{v}_{2}.

Passo 4

Primeira coluna de S é \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}, então
\mathbf{w}_{1} =3\,\mathbf{v}_{1}+1\,\mathbf{v}_{2} =3\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +1\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3+2\\\ 6+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\\ 9\end{pmatrix}.
Segunda coluna de S é \begin{pmatrix}5\\\ -2\end{pmatrix}, então
\mathbf{w}_{2} =5\,\mathbf{v}_{1}-2\,\mathbf{v}_{2} =5\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-4\\\ 10-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix}.

Resposta

\mathbf{w}_{1}=\begin{pmatrix}5\\\ 9\end{pmatrix}, \quad \mathbf{w}_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 4\end{pmatrix}.

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