Dados
\mathbf{v}_{1}=\binom{2}{6}, \quad \mathbf{v}_{2}=\binom{1}{4}, \quad S=\left(\begin{array}{ll} 4 & 1 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right)
encontre vetores \mathbf{u}_{1} e \mathbf{u}_{2} tais que S seja a matriz de transição de \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} para \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores da base antiga
V = (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)
com \mathbf{v}_1=\binom{2}{6} e \mathbf{v}_2=\binom{1}{4}, e a matriz de transição S da base V para a base desconhecida
U = (\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2).
Queremos achar \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2. Sabendo que para mudança de base vale
V = U\,S
vemos que basta inverter S e calcular
U = V\,S^{-1}.

Passo 2

Calcular o determinante de
S = \begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
para obtermos S^{-1}. O determinante é
\det(S)=4\cdot1 - 1\cdot2 = 4 - 2 = 2.

Passo 3

Usar a fórmula da inversa de matriz 2\times2,
S^{-1} = \frac{1}{\det(S)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} \quad\text{para } S=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}.
Aqui a=4, b=1, c=2, d=1, logo
S^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ -2 & 4\end{pmatrix}.

Passo 4

Formar a matriz V cujas colunas são \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2:
V = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 6 & 4\end{pmatrix}.
Agora calculamos
U = V\,S^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 6 & 4\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ -2 & 4\end{pmatrix}.
Multiplicando e fatorando 1/2, temos
V\,S^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot(-2) & 2\cdot(-1) + 1\cdot4 \\\\ 6\cdot1 + 4\cdot(-2) & 6\cdot(-1) + 4\cdot4 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\\\ -2 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -1 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz U encontrada tem colunas \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2, ou seja,
\mathbf{u}_1 = \binom{0}{-1}, \quad \mathbf{u}_2 = \binom{1}{5}.

Resposta

\mathbf{u}_1=\binom{0}{-1} \mathbf{u}_2=\binom{1}{5}

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