encontre vetores \mathbf{u}_{1} e \mathbf{u}_{2} tais que S seja a matriz de transição de \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} para \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores da base antiga
V = (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)
com \mathbf{v}_1=\binom{2}{6} e \mathbf{v}_2=\binom{1}{4}, e a matriz de transição S da base V para a base desconhecida
U = (\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2).
Queremos achar \mathbf{u}_1 e \mathbf{u}_2. Sabendo que para mudança de base vale
V = U\,S
vemos que basta inverter S e calcular
U = V\,S^{-1}.
Passo 2
Calcular o determinante de
S = \begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
para obtermos S^{-1}. O determinante é
\det(S)=4\cdot1 - 1\cdot2 = 4 - 2 = 2.
Passo 3
Usar a fórmula da inversa de matriz 2\times2,
S^{-1} = \frac{1}{\det(S)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} \quad\text{para } S=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}.