Sejam [x, 1] e [2 x-1,2 x+1] bases ordenadas para P_{2}.
(a) Encontre a matriz de transição representando a mudança de coordenadas de [2 x-1,2 x+1] para [x, 1].
(b) Encontre a matriz de transição representando a mudança de coordenadas de [ x, 1 ] para [ 2 x- 1,2 x+1].
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas do espaço de polinômios de grau <=1 (dimensão 2), que chamaremos de \mathcal B = [\,x,\;1\,]
e \mathcal B' = [\,2x-1,\;2x+1\,].
Pede:
(a) a matriz de transição de \mathcal B' para \mathcal B;
(b) a matriz de transição de \mathcal B para \mathcal B'.
O conteúdo é mudança de coordenadas entre bases, que se faz escrevendo cada vetor de uma base como combinação da outra.
Passo 2
Para (a), seja um polinômio genérico
p(x)=\alpha\,(2x-1)+\beta\,(2x+1),
com coordenadas \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} em \mathcal B'. Queremos suas coordenadas \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} em \mathcal B, isto é
Isso significa que a matriz de transição de \mathcal B' para \mathcal B é aquela que leva \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}. Em forma de matriz: