Sejam [x, 1] e [2 x-1,2 x+1] bases ordenadas para P_{2}.
(a) Encontre a matriz de transição representando a mudança de coordenadas de [2 x-1,2 x+1] para [x, 1].
(b) Encontre a matriz de transição representando a mudança de coordenadas de [ x, 1 ] para [ 2 x- 1,2 x+1].

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas do espaço de polinômios de grau <=1 (dimensão 2), que chamaremos de \mathcal B = [\,x,\;1\,]
e \mathcal B' = [\,2x-1,\;2x+1\,].
Pede:
(a) a matriz de transição de \mathcal B' para \mathcal B;
(b) a matriz de transição de \mathcal B para \mathcal B'.
O conteúdo é mudança de coordenadas entre bases, que se faz escrevendo cada vetor de uma base como combinação da outra.

Passo 2

Para (a), seja um polinômio genérico
p(x)=\alpha\,(2x-1)+\beta\,(2x+1),
com coordenadas \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} em \mathcal B'. Queremos suas coordenadas \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} em \mathcal B, isto é
p(x)=u\,x+v\cdot1.
Expandindo em termos de x e 1:
\alpha(2x-1)+\beta(2x+1) =(2\alpha+2\beta)\,x+(-\alpha+\beta)\,1.
Logo
u=2\alpha+2\beta, \quad v=-\alpha+\beta.

Passo 3

Isso significa que a matriz de transição de \mathcal B' para \mathcal B é aquela que leva \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}. Em forma de matriz:
\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (b), basta inverter essa matriz. Seja
M = \begin{pmatrix}2 & 2\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
O determinante de M é
\det(M)=2\cdot1 - 2\cdot(-1)=4.
Então
M^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) Matriz de \mathcal B'\to\mathcal B:
\begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
(b) Matriz de \mathcal B\to\mathcal B':
\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

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