Dados \mathbf{u}=\langle 1,-1\rangle, \mathbf{v}=\langle 2,0\rangle e \mathbf{w}=\langle 3,-2\rangle, determine:
\left\|\frac{1}{\|\mathbf{w}\|} \mathbf{w}\right\|

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{w}=\langle 3,-2\rangle e pede a norma do vetor escalado por \tfrac{1}{\|\mathbf{w}\|}. O conteúdo aqui é a propriedade da norma em relação à multiplicação por escalar, que diz
\|\alpha \mathbf{v}\| = |\alpha|\,\|\mathbf{v}\|.

Passo 2

Calcular primeiro a norma de \mathbf{w}:
\|\mathbf{w}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.

Passo 3

Aplicando a propriedade da norma para \alpha = \tfrac{1}{\|\mathbf{w}\|} e \mathbf{v}=\mathbf{w}, temos
\left\|\frac{1}{\|\mathbf{w}\|}\mathbf{w}\right\| = \left|\frac{1}{\|\mathbf{w}\|}\right|\,\|\mathbf{w}\| = \frac{1}{\|\mathbf{w}\|}\,\|\mathbf{w}\| = 1.

Resposta

1

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