Em cada parte, determine dois vetores unitários no espaço bidimensional que satisfaçam a condição dada.
Paralelo à reta y=3 x+2

Passo 1

O enunciado pede dois vetores unitários em \mathbb{R}^2 que sejam paralelos à reta
y = 3x + 2.
O conteúdo envolvido é encontrar um vetor de direção dessa reta e depois normalizá-lo para comprimento 1.

Passo 2

Como a reta tem coeficiente angular 3, um vetor de direção é
\mathbf{d} = (1,\,3),
pois ao avançar 1 na coordenada x sobe-se 3 na coordenada y.

Passo 3

O comprimento de \mathbf{d} é
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}.
Para obter um vetor unitário na mesma direção, dividimos \mathbf{d} por \sqrt{10}:
\mathbf{u} = \frac{1}{\sqrt{10}}\,(1,\,3) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 4

Para ter outro vetor unitário, basta inverter o sentido de \mathbf{u}, ou seja, multiplicar por -1:
-\mathbf{u} = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr)\quad\text{e}\quad\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr)

Exercícios relacionados