Dados: U=P V e P=B T^2(B>0) Obter: S(X0, X1, X2, ldots) (representação entrópica)
Na representação entrópica temos a seguinte equação diferencial,
d S=1T d U+PT d V

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um gás (ou sistema termodinâmico) em que
  1. A energia interna satisfaz dS = 1T,dU + PT,dV .
  2. A pressão é dada por , com .
    Precisamos achar a representação entrópica, ou seja, a função (a entropia em função das variáveis extensivas).
    O que vamos usar: a forma diferencial da entropia
e substituir nela e em termos de e . Depois é só integrar.

Passo 2

Primeiro, expressar P = UV em função de T^2 = PB = UB,V Longrightarrow T = raizUB,V e . Como , temos
Também tiramos de :

Passo 3

Agora calculamos os coeficientes de dS = raizB,VU,dU ;+;raizB,UV,dV e em .
  1. .
  2. .
    Logo

Passo 4

Agora integramos passo a passo. Primeiro em integral raizB,VU,dU = raizB,V;integral U^-1/2,dU = raizB,V;l(2,U^1/2r) = 2,raizB,U,V , mantendo S(U,V) = 2,raizB,U,V ;+; f(V) fixo:
partial Spartial V = partialpartial Vl(2raizB,U,Vr) + f'(V) = 2raizB,U,12raizV + f'(V) = raizB,UV + f'(V)
Isso nos dá uma parte da entropia, mais uma “função de integração” que depende só de , digamos :
Para achar , derivamos em relação a e igualamos ao coeficiente que tínhamos:
Mas esse deve ser igual a . Logo , ou seja, é constante.

Resposta

Escolhendo a constante de integração zero (normalmente se fixa a entropia num ponto de referência), obtemos a representação entrópica
boxedS(U,V) = 2,raizB,U,V

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