Dados P=R I^{2}, R=R \pm \delta R, I=I \pm \delta I. Pede-se P \pm \delta P, P \pm \varepsilon P

Passo 1

O enunciado nos dá a potência elétrica
P = R\,I^2
onde a resistência R e a corrente I são medidas com incertezas absolutas \delta R e \delta I. Precisamos calcular a potência com sua incerteza absoluta \delta P e sua incerteza relativa \varepsilon P. Para isso, vamos aplicar a propagação de erros em funções de variáveis independentes.

Passo 2

Para uma função P(R,I) de duas variáveis independentes, a incerteza absoluta aproximada é dada por
\delta P = \sqrt{\Bigl(\frac{\partial P}{\partial R}\,\delta R\Bigr)^2 \;+\;\Bigl(\frac{\partial P}{\partial I}\,\delta I\Bigr)^2}\,.
Essa fórmula vem da expansão de primeira ordem (linear) em séries de Taylor.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de P=R\,I^2.
A derivada em relação a R é
\frac{\partial P}{\partial R} = I^2,
e a derivada em relação a I é
\frac{\partial P}{\partial I} = 2\,R\,I.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula de propagação de erros, obtemos
\delta P = \sqrt{\bigl(I^2\,\delta R\bigr)^2 \;+\;\bigl(2\,R\,I\,\delta I\bigr)^2} = \sqrt{I^4\,\delta R^2 \;+\;4\,R^2\,I^2\,\delta I^2}\,.

Passo 5

Podemos fatorar I^2 dentro da raiz para simplificar:
\delta P = I^2\,\sqrt{\delta R^2 + 4\,\bigl(\tfrac{R}{I}\bigr)^2\,\delta I^2} = I\,\sqrt{I^2\,\delta R^2 + 4\,R^2\,\delta I^2}\,,
mas a forma mais direta e usada é
\delta P = \sqrt{I^4\,\delta R^2 + 4\,R^2\,I^2\,\delta I^2}\,.

Passo 6

A incerteza relativa de P é
\varepsilon P = \frac{\delta P}{P}\,.
Como P=R\,I^2, divide-se a expressão de \delta P por R\,I^2, resultando em
\varepsilon P = \sqrt{\Bigl(\tfrac{\delta R}{R}\Bigr)^2 + \Bigl(2\,\tfrac{\delta I}{I}\Bigr)^2}\,.

Resposta

P \pm \delta P = R\,I^2 \;\pm\; \sqrt{I^4\,\delta R^2 + 4\,R^2\,I^2\,\delta I^2}
P \pm \varepsilon P = R\,I^2 \;\pm\; R\,I^2 \,\sqrt{\Bigl(\tfrac{\delta R}{R}\Bigr)^2 + \Bigl(2\,\tfrac{\delta I}{I}\Bigr)^2}\,.

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