Dados
e r:
, forneça:
a) a equação de s perpendicular a
por P ;
b) o ponto M , pé da perpendicular a
por P ;
c) o ponto Q , simétrico de P em relação a
;
d) a reta
, simétrica de
em relação a P .
a) a equação de s perpendicular a
b) o ponto M , pé da perpendicular a
c) o ponto Q , simétrico de P em relação a
d) a reta
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo pego do enunciado):
- O ponto
tem coordenadas . - A reta
é dada por .
O que o problema pede:
a) a equação da reta que é perpendicular a
e passa por
;
b) o ponto , pé da perpendicular a
traçada por
(ou seja, a interseção entre
e
);
c) o ponto , simétrico de
em relação à reta
(reflexão de
por
);
d) a reta , que é a imagem de
pela simetria central de centro
(ou seja, a reta
refletida em relação ao ponto
).
a) a equação da reta
b) o ponto
c) o ponto
d) a reta
Passo 2
Vamos achar a reta
perpendicular a
e passando por
.
- Primeiro escrevo
em forma explícita para identificar a inclinação (coeficiente angular). A reta é
Aqui o coeficiente angular (inclinação) de
é
.
- Duas retas são perpendiculares quando seus coeficientes angulares
e satisfazem
Isso significa que o coeficiente angular da perpendicular é o negativo do recíproco. Assim, o coeficiente angular de
é
- Agora uso a forma ponto-inclinação da reta passando por
:
- Faço operações para obter uma forma sem frações (forma geral):
Portanto a reta
tem equação
.
Passo 3
Agora determinamos o ponto [M), interseção entre
e
(pé da perpendicular).
Temos o sistema formado por
Vou resolver por eliminação:
- Multiplico a segunda equação por
para facilitar a soma que elimina
:
- Somando as duas equações:
Logo
- Substituo ):
Portanto o pé da perpendicular é
.]
Passo 4
Encontrar o simétrico
de
em relação a
.
- Observação importante: ao refletir um ponto
numa reta , o pé da perpendicular é o ponto médio do segmento que liga ao seu reflexo . Em símbolos,
Isso vem da definição de reflexão:
e
têm mesma direção e comprimento, e
está no meio.
- Então para obter
uso
Componentemente,
Portanto
.
Passo 5
Determinar a reta
, simétrica de
em relação ao ponto
(simetria central de centro
).
- A simetria central de centro
transforma um ponto em com
- Se a reta
tem equação geral , então substituindo e obtemos a equação da imagem (reta ) em termos de :
Multiplicando por
e renomeando
para
, a equação de
fica
- No nosso caso
, , e . Calculo:
Logo a equação de
é
Observação intuitiva: a simetria central por
desloca a reta paralelamente (mantém a mesma direção) e muda apenas o termo constante; a fórmula acima formaliza isso.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)