Dados P(2,2) e r: 3 x+2 y-6=0, forneça:
a) a equação de s perpendicular a r por P ;
b) o ponto M , pé da perpendicular a r por P ;
c) o ponto Q , simétrico de P em relação a r;
d) a reta t, simétrica de r em relação a P .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo pego do enunciado):
  • O ponto P tem coordenadas P(2,2).
  • A reta r é dada por \;3x+2y-6=0.
O que o problema pede:
a) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa por P;
b) o ponto M, pé da perpendicular a r traçada por P (ou seja, a interseção entre s e r);
c) o ponto Q, simétrico de P em relação à reta r (reflexão de P por r);
d) a reta t, que é a imagem de r pela simetria central de centro P (ou seja, a reta r refletida em relação ao ponto P).

Passo 2

Vamos achar a reta s perpendicular a r e passando por P.
  1. Primeiro escrevo r em forma explícita para identificar a inclinação (coeficiente angular). A reta r é
3x+2y-6=0 \quad\Longrightarrow\quad 2y=-3x+6 \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{3}{2}x+3.
Aqui o coeficiente angular (inclinação) de r é m_r=-\tfrac{3}{2}.
  1. Duas retas são perpendiculares quando seus coeficientes angulares m_1 e m_2 satisfazem
m_1 \cdot m_2 = -1.
Isso significa que o coeficiente angular da perpendicular é o negativo do recíproco. Assim, o coeficiente angular de s é
m_s = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{-\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}.
  1. Agora uso a forma ponto-inclinação da reta passando por P(2,2):
y-2 = \frac{2}{3}(x-2).
  1. Faço operações para obter uma forma sem frações (forma geral):
3(y-2)=2(x-2) \quad\Longrightarrow\quad 3y-6=2x-4 \quad\Longrightarrow\quad 2x-3y+2=0.
Portanto a reta s tem equação \;2x-3y+2=0.

Passo 3

Agora determinamos o ponto [M), interseção entre r e s (pé da perpendicular).
Temos o sistema formado por
\begin{cases} 3x+2y-6=0,\\[4pt] 2x-3y+2=0. \end{cases}
Vou resolver por eliminação:
  1. Multiplico a segunda equação por 2\] e a primeira por \[3 para facilitar a soma que elimina y:
\begin{cases} 9x+6y-18=0 \quad\text{(primeira vezes 3)},\\[4pt] 4x-6y+4=0 \quad\text{(segunda vezes 2)}. \end{cases}
  1. Somando as duas equações:
(9x+6y-18) + (4x-6y+4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 13x -14 = 0.
Logo
x = \frac{14}{13}.
  1. Substituo x\] numa das equações (uso \(3x+2y-6=0):
3\cdot\frac{14}{13} + 2y -6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{42}{13} + 2y - \frac{78}{13} = 0.
2y - \frac{36}{13} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y = \frac{36}{13} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{18}{13}.
Portanto o pé da perpendicular é M\!\left(\dfrac{14}{13},\dfrac{18}{13}\right).]

Passo 4

Encontrar o simétrico Q de P em relação a r.
  1. Observação importante: ao refletir um ponto P numa reta r, o pé da perpendicular M é o ponto médio do segmento que liga P ao seu reflexo Q. Em símbolos,
M = \frac{P+Q}{2} \qquad\text{(coordenas componente a componente).}
Isso vem da definição de reflexão: PM e MQ têm mesma direção e comprimento, e M está no meio.
  1. Então para obter Q uso
Q = 2M - P.
Componentemente,
x_Q = 2\cdot\frac{14}{13} - 2 = \frac{28}{13} - \frac{26}{13} = \frac{2}{13},
y_Q = 2\cdot\frac{18}{13} - 2 = \frac{36}{13} - \frac{26}{13} = \frac{10}{13}.
Portanto Q\!\left(\dfrac{2}{13},\dfrac{10}{13}\right).

Passo 5

Determinar a reta t, simétrica de r em relação ao ponto P (simetria central de centro P).
  1. A simetria central de centro P(x_0,y_0) transforma um ponto (x,y) em (x',y') com
x' = 2x_0 - x,\qquad y' = 2y_0 - y.
  1. Se a reta r tem equação geral a x + b y + c = 0, então substituindo x=2x_0-x' e y=2y_0-y' obtemos a equação da imagem (reta t) em termos de x',y':
a(2x_0-x') + b(2y_0-y') + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad -a x' - b y' + (2a x_0 + 2b y_0 + c)=0.
Multiplicando por -1 e renomeando (x',y') para (x,y), a equação de t fica
a x + b y - (2a x_0 + 2b y_0 + c) = 0.
  1. No nosso caso a=3, b=2, c=-6 e P(2,2)\Rightarrow x_0=2,\\ y_0=2. Calculo:
2a x_0 + 2b y_0 + c = 2\cdot3\cdot2 + 2\cdot2\cdot2 + (-6) = 12 + 8 -6 = 14.
Logo a equação de t é
3x+2y - 14 = 0.
Observação intuitiva: a simetria central por P desloca a reta paralelamente (mantém a mesma direção) e muda apenas o termo constante; a fórmula acima formaliza isso.

Resposta

a) 2x-3y+2=0
b) M\!\left(\dfrac{14}{13},\dfrac{18}{13}\right)
c) Q\!\left(\dfrac{2}{13},\dfrac{10}{13}\right)
d) 3x+2y-14=0

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