Obtenha uma reta perpendicular a r: 4 x+3 y=0 e que defina com os eixos coordenados um triângulo de área 6.

Passo 1

O enunciado pede uma reta perpendicular à reta r dada por
4x+3y=0
e que, ao interceptar os eixos coordenados, forme com eles um triângulo de área 6.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Equação de r: \;4x+3y=0.
  • Área desejada do triângulo formado pelos interceptos com os eixos: 6.

Passo 2

Vamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta r. Reescrevendo r no formato y=mx+c:
4x+3y=0 \quad\Longrightarrow\quad 3y=-4x \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{4}{3}x.
Portanto o coeficiente angular de r é -\dfrac{4}{3}.
Regra para retas perpendiculares: se uma reta tem coeficiente angular m_1, qualquer reta perpendicular a ela terá coeficiente angular m_2 tal que
m_1 m_2 = -1.
Aplicando com m_1=-\dfrac{4}{3} obtemos
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-\tfrac{4}{3}} = \frac{3}{4}.
Logo qualquer reta perpendicular a r tem coeficiente angular \dfrac{3}{4}.

Passo 3

A forma geral de uma reta com esse coeficiente angular é
y=\frac{3}{4}x+b,
onde \;b é a ordenada (intercepto) no eixo y — ou seja, o ponto onde a reta cruza o eixo y é (0,b).
O intercepto no eixo x (denotado por a) é o valor de x quando y=0. Calculando:
0=\frac{3}{4}a+b \quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{4}{3}b.
Assim os pontos de interseção com os eixos são (a,0)=\bigl(-\tfrac{4}{3}b,0\bigr) e (0,b).

Passo 4

Agora precisamos relacionar esses interceptos com a área do triângulo formado pelos eixos e pela reta. O triângulo formado pelos pontos (0,0), (a,0) e (0,b) é um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimentos |a| e |b|. A área desse triângulo é
\text{Área}=\frac{1}{2}\,|a|\;|b|=\frac{1}{2}|ab|.Á
Queremos que essa área valha 6, então
\frac{1}{2}|ab|=6 \quad\Longrightarrow\quad |ab|=12.

Passo 5

Substituímos a=-\dfrac{4}{3}b no produto ab:
ab = \left(-\frac{4}{3}b\right)b = -\frac{4}{3}b^{2}.
Tomando o valor absoluto:
|ab|=\frac{4}{3}b^{2}.
Exigindo |ab|=12 obtemos
\frac{4}{3}b^{2}=12 \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=12\cdot\frac{3}{4}=9.
Logo
b=\pm 3.

Passo 6

Com b=\pm 3 os interceptos no eixo x são
a=-\frac{4}{3}b \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} b=3 \Rightarrow a=-4,\\[4pt] b=-3 \Rightarrow a=4. \end{cases}
Verificação rápida da área para cada caso:
\text{Área}=\frac{1}{2}|a b|=\frac{1}{2}\cdot|(-4)\cdot 3|=\frac{1}{2}\cdot 12=6,Á
\text{Área}=\frac{1}{2}|4\cdot(-3)|=\frac{1}{2}\cdot12=6.Á
Ambos satisfazem a condição de área.]

Resposta

y=\dfrac{3}{4}x+3
y=\dfrac{3}{4}x-3

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