Obtenha uma reta perpendicular a r:
e que defina com os eixos coordenados um triângulo de área 6.
Passo 1
O enunciado pede uma reta perpendicular à reta
dada por
e que, ao interceptar os eixos coordenados, forme com eles um triângulo de área
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Equação de
: . - Área desejada do triângulo formado pelos interceptos com os eixos:
.
Passo 2
Vamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta
. Reescrevendo
no formato
:
Portanto o coeficiente angular de
é
.
Regra para retas perpendiculares: se uma reta tem coeficiente angular
, qualquer reta perpendicular a ela terá coeficiente angular
tal que
Aplicando com
obtemos
Logo qualquer reta perpendicular a
tem coeficiente angular
.
Passo 3
A forma geral de uma reta com esse coeficiente angular é
onde
é a ordenada (intercepto) no eixo
— ou seja, o ponto onde a reta cruza o eixo
é
.
O intercepto no eixo
(denotado por
) é o valor de
quando
. Calculando:
Assim os pontos de interseção com os eixos são
e
.
Passo 4
Agora precisamos relacionar esses interceptos com a área do triângulo formado pelos eixos e pela reta. O triângulo formado pelos pontos
,
e
é um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimentos
e
. A área desse triângulo é
Queremos que essa área valha
, então
Passo 5
Substituímos
no produto
:
Tomando o valor absoluto:
Exigindo
obtemos
Logo
Passo 6
Com
os interceptos no eixo
são
Verificação rápida da área para cada caso:
Ambos satisfazem a condição de área.]