Determine as equações das retas
e
que passam por P e formam ângulo
com a reta
nos seguintes casos:
caso:
caso:
caso:
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá em cada caso (cada dado entre parênteses está escrito em forma matemática):
-
Primeiro caso:
- Ponto
. - Ângulo
. - Reta
.
- Ponto
-
Segundo caso:
- Ponto
. - Ângulo
(ou seja, ). - Reta
.
- Ponto
-
Terceiro caso:
- Ponto
. - Ângulo
. - Reta
.
- Ponto
O que o problema pede: para cada caso, determinar as equações das duas retas
e
que passam pelo ponto dado e formam ângulo
com a reta
.
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
- Para uma reta dada em forma geral
(com ), seu coeficiente angular (inclinação) é
Explicação curta: escrever
como
mostra que o coeficiente angular é o número que multiplica
, isto é
.
- Se uma reta
tem coeficiente angular e queremos uma reta que forme ângulo com , então o coeficiente angular de satisfaz
Isto vem da interpretação geométrica do coeficiente angular como
do ângulo que a reta faz com o eixo
. Aplicando a fórmula da tangente da soma/diferença de ângulos obtemos a forma prática
onde o sinal superior na fração corresponde ao
no argumento da tangente e o sinal inferior corresponde ao
. Aqui
é denotado por
quando for útil.
- Teremos sempre duas soluções (as duas retas
e ), uma com o sinal e outra com o sinal . Depois de achar cada escrevemos a reta que passa por na forma ponto-inclinação:
Agora aplico esse procedimento caso a caso, mostrando todos os cálculos.
Passo 3
Primeiro caso.
- Identificar
e .
- Para
temos , , logo
- Para
temos
Denote
.
- Calcular os dois coeficientes angulares pela fórmula
- Usando o sinal
:
Para simplificar, multiplicar numerador e denominador por
:
Multiplicando numerador e denominador por
(conjugado) para racionalizar:
- Usando o sinal
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
- Escrever as retas que passam por
.
Usamos a forma ponto-inclinação
, logo:
-
. -
.
Se preferir em forma explícita (desenvolvendo):
-
. -
.
Passo 4
Segundo caso.
- Identificar
e .
- Para
temos , , logo
- O enunciado dá
, portanto
Denote
.
- Calcular os dois coeficientes angulares:
- Sinal
:
- Sinal
:
- Escrever as retas que passam por
.
Forma ponto-inclinação
dá:
-
, isto é . -
, isto é .
Passo 5
Terceiro caso.
- Identificar
e .
- Para
temos , , logo
- Para
temos
Denote
.
- Calcular os dois coeficientes angulares:
- Sinal
:
- Sinal
:
- Escrever as retas que passam por
.
Forma ponto-inclinação
dá:
- Para
:
- Para
: