Determine as equações das retas \mathrm{s}_{1} e \mathrm{s}_{2} que passam por P e formam ângulo \theta com a reta r nos seguintes casos:
1^{\circ} caso: P(1,0) \theta=30^{\circ} r: x+y+1=0
2^{\circ} caso: P(0,1) \theta=\operatorname{arc} \operatorname{tg} 2 r: 2 x-y+7=0
3^{\circ} caso: P(2,-1) \theta=45^{\circ} r: x+2 y=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá em cada caso (cada dado entre parênteses está escrito em forma matemática):
  • Primeiro caso:
    • Ponto P(1,0).
    • Ângulo \theta=30^\circ.
    • Reta r:\;x+y+1=0.
  • Segundo caso:
    • Ponto P(0,1).
    • Ângulo \theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}2 (ou seja, \tan\theta=2).
    • Reta r:\;2x-y+7=0.
  • Terceiro caso:
    • Ponto P(2,-1).
    • Ângulo \theta=45^\circ.
    • Reta r:\;x+2y=0.
O que o problema pede: para cada caso, determinar as equações das duas retas \mathrm{s}_1 e \mathrm{s}_2 que passam pelo ponto dado e formam ângulo \theta com a reta r.

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
  1. Para uma reta dada em forma geral ax+by+c=0 (com b\neq0), seu coeficiente angular (inclinação) é
m_0 = -\frac{a}{b}.
Explicação curta: escrever ax+by+c=0 como y = -\frac{a}{b}x -\frac{c}{b} mostra que o coeficiente angular é o número que multiplica x, isto é -\dfrac{a}{b}.
  1. Se uma reta r tem coeficiente angular m_0 e queremos uma reta s que forme ângulo \theta com r, então o coeficiente angular m de s satisfaz
m = \tan\big(\arctan(m_0)\pm \theta\big).
Isto vem da interpretação geométrica do coeficiente angular como \tan do ângulo que a reta faz com o eixo x. Aplicando a fórmula da tangente da soma/diferença de ângulos obtemos a forma prática
\boxed{\,m=\frac{m_0\pm \tan\theta}{1\mp m_0\tan\theta}\,}
onde o sinal superior na fração corresponde ao +\theta no argumento da tangente e o sinal inferior corresponde ao -\theta. Aqui \tan\theta é denotado por t quando for útil.
  1. Teremos sempre duas soluções (as duas retas \mathrm{s}_1 e \mathrm{s}_2), uma com o sinal + e outra com o sinal -. Depois de achar cada m escrevemos a reta que passa por P(x_0,y_0) na forma ponto-inclinação:
y-y_0 = m(x-x_0).
Agora aplico esse procedimento caso a caso, mostrando todos os cálculos.

Passo 3

Primeiro caso.
  1. Identificar m_0 e \tan\theta.
  • Para r:\;x+y+1=0 temos a=1, b=1, logo
m_0 = -\frac{a}{b} = -1.
  • Para \theta=30^\circ temos
\tan\theta=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Denote t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  1. Calcular os dois coeficientes angulares pela fórmula
m=\frac{m_0\pm t}{1\mp m_0 t}.
  • Usando o sinal +:
m_1=\frac{-1 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 - (-1)\dfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{-1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}.
Para simplificar, multiplicar numerador e denominador por \sqrt{3}:
m_1=\frac{-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}-1 (conjugado) para racionalizar:
m_1=\frac{(-\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} =\frac{-3+2\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}.
  • Usando o sinal -:
m_2=\frac{-1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (-1)\dfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{-1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}+1:
m_2=\frac{(-\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} =\frac{-3-2\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}.
  1. Escrever as retas que passam por P(1,0).
Usamos a forma ponto-inclinação y-0=m(x-1), logo:
  • \mathrm{s}_1:\;y=(\sqrt{3}-2)(x-1).
  • \mathrm{s}_2:\;y=(-2-\sqrt{3})(x-1).
Se preferir em forma explícita (desenvolvendo):
  • \mathrm{s}_1:\;y=(\sqrt{3}-2)x-(\sqrt{3}-2).
  • \mathrm{s}_2:\;y=(-2-\sqrt{3})x+(2+\sqrt{3}).

Passo 4

Segundo caso.
  1. Identificar m_0 e \tan\theta.
  • Para r:\;2x-y+7=0 temos a=2, b=-1, logo
m_0 = -\frac{a}{b}=-\frac{2}{-1}=2.
  • O enunciado dá \theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}2, portanto
\tan\theta=2.
Denote t=2.
  1. Calcular os dois coeficientes angulares:
m=\frac{m_0\pm t}{1\mp m_0 t}.
  • Sinal +:
m_1=\frac{2+2}{1-2\cdot2}=\frac{4}{1-4}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}.
  • Sinal -:
m_2=\frac{2-2}{1+2\cdot2}=\frac{0}{1+4}=0.
  1. Escrever as retas que passam por P(0,1).
Forma ponto-inclinação y-1=m(x-0) dá:
  • \mathrm{s}_1:\;y-1=-\frac{4}{3}x, isto é \;y=-\frac{4}{3}x+1.
  • \mathrm{s}_2:\;y-1=0\cdot x, isto é \;y=1.

Passo 5

Terceiro caso.
  1. Identificar m_0 e \tan\theta.
  • Para r:\;x+2y=0 temos a=1, b=2, logo
m_0=-\frac{a}{b}=-\frac{1}{2}.
  • Para \theta=45^\circ temos
\tan\theta=1.
Denote t=1.
  1. Calcular os dois coeficientes angulares:
m=\frac{m_0\pm t}{1\mp m_0 t}.
  • Sinal +:
m_1=\frac{-\tfrac{1}{2}+1}{1 - (-\tfrac{1}{2})\cdot 1} =\frac{\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{2}}=\frac{1}{3}.
  • Sinal -:
m_2=\frac{-\tfrac{1}{2}-1}{1+(-\tfrac{1}{2})\cdot 1} =\frac{-\tfrac{3}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{-\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}=-3.
  1. Escrever as retas que passam por P(2,-1).
Forma ponto-inclinação y+1=m(x-2) dá:
  • Para m_1=\tfrac{1}{3}:
\mathrm{s}_1:\;y+1=\tfrac{1}{3}(x-2)\quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{3}x-\tfrac{2}{3}-1=\tfrac{1}{3}x-\tfrac{5}{3}.
  • Para m_2=-3:
\mathrm{s}_2:\;y+1=-3(x-2)\quad\Rightarrow\quad y=-3x+6-1=-3x+5.

Resposta

\mathrm{s}_1:\;y=(\sqrt{3}-2)(x-1),\quad \mathrm{s}_2:\;y=(-2-\sqrt{3})(x-1)
\mathrm{s}_1:\;y=-\dfrac{4}{3}x+1,\quad \mathrm{s}_2:\;y=1
\mathrm{s}_1:\;y=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{5}{3},\quad \mathrm{s}_2:\;y=-3x+5

Exercícios relacionados