Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ( -\infty, \infty ):
\{\operatorname{sen} 2 t, \operatorname{sen} t \cos t\},

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano do par de soluções \{\sin2t,\;\sin t\cos t\} de uma EDO de segunda ordem, e em seguida que determinem se elas são linearmente independentes ou não em (-\infty,\infty). Para isso, vamos usar a definição
W(t)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = y_1\,y_2' - y_2\,y_1'
e o fato (teorema de Abel) de que, em intervalos onde os coeficientes da EDO são contínuos, W\equiv0 implica dependência linear.

Passo 2

Chamando
y_1(t)=\sin2t, \quad y_2(t)=\sin t\cos t,
temos as derivadas
y_1'(t)=2\cos2t, \qquad y_2'(t)=\frac{d}{dt}(\sin t\cos t) =\cos t\cos t - \sin t\sin t =\cos^2t-\sin^2t =\cos2t.

Passo 3

Substituindo em W(t)=y_1y_2' - y_2y_1',
W(t) =\sin2t\cdot\cos2t \;-\; (\sin t\cos t)\cdot(2\cos2t) =\cos2t\bigl(\sin2t -2\sin t\cos t\bigr).
Mas \sin2t=2\sin t\cos t, logo
\sin2t -2\sin t\cos t =0 \quad\Longrightarrow\quad W(t)=0\quad\text{para todo }t.

Passo 4

Como o Wronskiano é identicamente zero em (-\infty,\infty) e as funções são soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes contínuos, concluímos que \sin2t e \sin t\cos t são linearmente dependentes.

Resposta

W(t)=0. O conjunto \{\sin2t,\;\sin t\cos t\} é linearmente dependente em (-\infty,\infty).

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