Dados os pares de funções abaixo (que são soluções de alguma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes contínuos em toda a reta), encontre o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em ( -\infty, \infty ): \{\operatorname{sen} 2 t, \operatorname{sen} t \cos t\},
Passo 1
O enunciado pede o Wronskiano do par de soluções \{\sin2t,\;\sin t\cos t\} de uma EDO de segunda ordem, e em seguida que determinem se elas são linearmente independentes ou não em (-\infty,\infty). Para isso, vamos usar a definição
\sin2t -2\sin t\cos t =0 \quad\Longrightarrow\quad W(t)=0\quad\text{para todo }t.
Passo 4
Como o Wronskiano é identicamente zero em (-\infty,\infty) e as funções são soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes contínuos, concluímos que \sin2t e \sin t\cos t são linearmente dependentes.
Resposta
W(t)=0. O conjunto \{\sin2t,\;\sin t\cos t\} é linearmente dependente em (-\infty,\infty).