Encontre a área da superfície da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 entre os planos z=-1 e z=\sqrt{ } 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
que fica entre os planos z=-1 e z=\sqrt{3}.
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície de esfera usando coordenadas esféricas, onde a métrica dá
dS = R^{2}\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta
e z=R\cos\varphi.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio R=2\) por \[\begin{cases} x = 2\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = 2\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = 2\cos\varphi, \end{cases}
com \theta\in[0,2\pi]\] e \(\varphi\in[0,\pi].
As restrições z=-1 e z=\sqrt{3} viram condições em \varphi:
2\cos\varphi = \sqrt{3}\\ \Longrightarrow\\ \cos\varphi = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow\\ \varphi = \tfrac{\pi}{6},
2\cos\varphi = -1\\ \Longrightarrow\\ \cos\varphi = -\tfrac12\\ \Rightarrow\\ \varphi = \tfrac{2\pi}{3}.
Logo queremos \varphi de \pi/6 até 2\pi/3.

Passo 3

A área da superfície é
\iint dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=\pi/6}^{2\pi/3}2^{2}\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =4\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{\pi/6}^{2\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Calculando as integrais,
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{\pi/6}^{2\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/6}^{2\pi/3} = \bigl(-\cos\tfrac{2\pi}{3}\bigr)-\bigl(-\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \tfrac12 + \tfrac{\sqrt{3}}{2} =\tfrac{1+\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando tudo,
\text{Área} =4\;\times2\pi\;\times\tfrac{1+\sqrt{3}}{2} =4\pi\,(1+\sqrt{3}).Á

Resposta

A área da superfície é \,4\pi\,(1+\sqrt{3}).

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