Dado um PVI do tipo
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g(t), \quad y\left(t_{0}\right)=y_{0}, \quad y^{\prime}\left(t_{0}\right)=y_{0}^{\prime}, onde p(t), q(t) e g(t) são funções contínuas em um intervalo aberto I \subset \mathbb{R} contendo o ponto t_{0} (ou seja, \mathrm{t}_{0} \in \mathrm{I} ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução y=\varphi(t) para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
t(t-4) y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}+4 y=\operatorname{sen} t, y(2)=2, y^{\prime}(2)=1

Passo 1

Estamos com o PVI
t(t-4)\,y'' + 3t\,y' + 4\,y = \sin t, \quad y(2)=2,\;y'(2)=1.
O teorema de existência e unicidade exige escrevê-lo na forma
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = g(t)
e pede que os coeficientes p(t),q(t),g(t) sejam contínuos num intervalo aberto que contenha t_0=2.

Passo 2

Dividimos toda a equação por a_2(t)=t(t-4). Assim
p(t)=\frac{3t}{t(t-4)}=\frac{3}{t-4}, \quad q(t)=\frac{4}{t(t-4)}, \quad g(t)=\frac{\sin t}{t(t-4)}.

Passo 3

Para que p(t),q(t),g(t) sejam contínuas precisamos de t(t-4)\neq0, ou seja, t\neq0 e t\neq4. Esses são os pontos singulares que “quebram” a continuidade dos coeficientes.

Passo 4

Os zeros de t(t-4) particionam a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,4) e (4,+\infty). Como o ponto inicial é t_0=2, que pertence a (0,4), o maior intervalo aberto que garante continuidade de p,q,g e, portanto, existência e unicidade da solução é
(0,4).

Resposta

(0,4)

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