Dado um PVI do tipo
, onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto
contendo o ponto
(ou seja,
), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução
para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
,
Passo 1
Estamos com o PVI
O teorema de existência e unicidade exige escrevê-lo na forma
e pede que os coeficientes
sejam contínuos num intervalo aberto que contenha
.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
. Assim
Passo 3
Para que
sejam contínuas precisamos de
, ou seja,
e
. Esses são os pontos singulares que “quebram” a continuidade dos coeficientes.
Passo 4
Os zeros de
particionam a reta em três intervalos:
,
e
. Como o ponto inicial é
, que pertence a
, o maior intervalo aberto que garante continuidade de
e, portanto, existência e unicidade da solução é