Dados pares de inteiros
e
, com
, dizmos que
quando
é uma relação de equivalência em
. Ou seja,
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem pares de números inteiros
e
, onde
e
não são zero. A relação que estamos analisando é definida por
se e somente se
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa relação é uma relação de equivalência no conjunto
. Para isso, vamos verificar três propriedades fundamentais: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Em matemática, uma relação de equivalência em um conjunto precisa cumprir três propriedades:
- Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
- Simetria: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
- Transitividade: Se um elemento está relacionado com um segundo, e o segundo está relacionado com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
No nosso caso, vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação definida por
.
Passo 3
Reflexividade: Precisamos mostrar que qualquer par
está relacionado consigo mesmo, ou seja,
.
Vamos calcular:
Claramente,
, então
. Isso satisfaz a condição
quando
. Portanto, a relação é reflexiva.
Passo 4
Simetria: Agora, precisamos mostrar que se
, então
.
Pela definição, se
, então:
Isso significa que
. Se rearranjarmos essa igualdade, também temos
, ou seja:
O que mostra que
. Assim, a relação é simétrica.
Passo 5
Transitividade: Por último, vamos mostrar que se
e
, então
.
Sabemos que:
Queremos provar que
. Vamos multiplicar as duas igualdades:
Simplificando:
Podemos cancelar
e
(já que são diferentes de zero):
Então,
. Portanto, a relação é transitiva.
Resposta
Concluímos que a relação definida por
quando
satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. Logo, essa relação é uma relação de equivalência em
.