Dados pares de inteiros (a, b) e (c, d), com b neq 0, d neq 0, dizmos que
(a, b) sim (c, d)
quando
ad=bc
é uma relação de equivalência em Z times (Z setminus 0). Ou seja,
(i) (a, b) sim (a, b)
(ii) (a, b) sim (c, d) Rightarrow (c, d) sim (a, b)
(iii) (a, b) sim (c, d), (c, d) sim (e, f) Rightarrow (a, b) sim (e, f)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem pares de números inteiros (a, b) e (c, d), onde b e d não são zero. A relação que estamos analisando é definida por (a, b) sim (c, d) se e somente se ad = bc. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa relação é uma relação de equivalência no conjunto Z times (Z setminus 0). Para isso, vamos verificar três propriedades fundamentais: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação de equivalência. Em matemática, uma relação de equivalência em um conjunto precisa cumprir três propriedades:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado consigo mesmo.
  2. Simetria: Se um elemento está relacionado com outro, então o segundo está relacionado com o primeiro.
  3. Transitividade: Se um elemento está relacionado com um segundo, e o segundo está relacionado com um terceiro, então o primeiro está relacionado com o terceiro.
No nosso caso, vamos verificar cada uma dessas propriedades para a relação definida por ad = bc.

Passo 3

Reflexividade: Precisamos mostrar que qualquer par (a, b) está relacionado consigo mesmo, ou seja, (a, b) sim (a, b).
Vamos calcular:
a cdot b = b cdot a
Claramente, ab = ba, então a cdot b = b cdot a. Isso satisfaz a condição ad = bc quando (c, d) = (a, b). Portanto, a relação é reflexiva.

Passo 4

Simetria: Agora, precisamos mostrar que se (a, b) sim (c, d), então (c, d) sim (a, b).
Pela definição, se (a, b) sim (c, d), então:
a cdot d = b cdot c
Isso significa que ad = bc. Se rearranjarmos essa igualdade, também temos c cdot b = d cdot a, ou seja:
c cdot b = d cdot a
O que mostra que (c, d) sim (a, b). Assim, a relação é simétrica.

Passo 5

Transitividade: Por último, vamos mostrar que se (a, b) sim (c, d) e (c, d) sim (e, f), então (a, b) sim (e, f).
Sabemos que:
a cdot d = b cdot c e c cdot f = d cdot e
Queremos provar que a cdot f = b cdot e. Vamos multiplicar as duas igualdades:
(a cdot d) cdot (c cdot f) = (b cdot c) cdot (d cdot e)
Simplificando:
a cdot d cdot c cdot f = b cdot c cdot d cdot e
Podemos cancelar c e d (já que são diferentes de zero):
a cdot f = b cdot e
Então, (a, b) sim (e, f). Portanto, a relação é transitiva.

Resposta

Concluímos que a relação definida por (a, b) sim (c, d) quando ad = bc satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. Logo, essa relação é uma relação de equivalência em Z times (Z setminus 0).

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