Responda as seguintes questões:
(g) y1(x)=cos (3 x) e y2(x)=sen(3 x) são soluções fundamentais da EDO y^prime prime-9 y=0 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se as funções y1(x)=cos(3x) e y2(x)=sin(3x) formam um conjunto fundamental de soluções da equação y''-9y=0. O conteúdo é EDO linear homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes e vamos precisar verificar se elas satisfazem a EDO e se o Wronskiano é não nulo.

Passo 2

Vamos calcular a segunda derivada de y1(x) = cos(3x):
y1'(x) = -3sin(3x),
y1''(x) = -9cos(3x)
Substituindo na EDO y''-9y=0:
y1'' - 9y1 = -9cos(3x) - 9cos(3x) = -18cos(3x) neq 0
Portanto y1 não satisfaz a equação.

Passo 3

Agora para y2(x) = sin(3x):
y2'(x) = 3cos(3x),
y2''(x) = -9sin(3x)
Substituindo na EDO:
y2'' - 9y2 = -9sin(3x) - 9sin(3x) = -18sin(3x) neq 0
Logo y2 também não satisfaz a equação.

Passo 4

Como nenhuma das funções satisfaz a EDO, elas não são soluções, e portanto não podem formar um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

Não, pois nem cos(3x) nem sin(3x) satisfazem a EDO y''-9y=0.

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