Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.

Passo 1

A equação dada é 2x^2y,dx = (3x^3+y^3),dy. Isso é uma equação diferencial de variáveis homogêneas, pois ambos os termos têm grau total 3 ( x^2y e x^3+y^3). Para resolver, vamos usar a substituição y = vx, que transforma a equação em uma em que v depende de x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma dfracdydx = fl(tfracyxr). Dividindo ambos os lados por dx e por (3x^3+y^3), obtemos
dydx = 2x^2y3x^3+y^3
Como y= vx, temos dy/dx = v + x,dv/dx. Além disso, note que
2x^2y3x^3+y^3 = 2x^2,(vx)x^3(3+v^3) = 2v3+v^3
Substituindo em v + x,dv/dx = 2v/(3+v^3), chegamos a
$$
x\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{3+v^{3}} - v = -\frac{v(1+v{3})}{3+v{3}}. xdvdx = 2v3+v^3 - v = -v(1+v^3)3+v^3á\frac{3+v{3}}{v(1+v{3})},dv = -\frac{dx}{x}.$$

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição
3+v^3v(1+v^3) = 3v - 2v^21+v^3,
então
integral!l(3v - 2v^21+v^3r)dv = -integraldxx

Passo 4

Calculando as integrais:
3ln|v| - 23ln|1+v^3| = -ln|x| + C

Passo 5

Reagrupando logaritmos e voltando a y (lembre que v=y/x), obtemos a solução implícita:
lnl(x,v^3(1+v^3)^2/3r) = C Longrightarrow y^3(x^3+y^3)^2/3 = C'

Resposta

y^3l(x^3+y^3r)^2/3=C

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