Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
Passo 1
A equação dada é
. Isso é uma equação diferencial de variáveis homogêneas, pois ambos os termos têm grau total 3 (
e
). Para resolver, vamos usar a substituição
, que transforma a equação em uma em que
depende de
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma
. Dividindo ambos os lados por
e por
, obtemos
Como
Substituindo em
, chegamos a
$$
x\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{3+v^{3}} - v = -\frac{v(1+v{3})}{3+v{3}}.
\frac{3+v{3}}{v(1+v{3})},dv = -\frac{dx}{x}.$$
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição
então
Passo 4
Calculando as integrais:
Passo 5
Reagrupando logaritmos e voltando a
(lembre que
), obtemos a solução implícita: