Dados os pontos A(2, –4) e B(2, 3), determine um ponto C do plano cartesiano de modo que ABC seja um triângulo isósceles de base AB.
Passo 1
Beleza, então temos dois pontos no plano cartesiano: A(2, –4) e B(2, 3). A gente precisa encontrar um ponto C que faça o triângulo ABC ser isósceles com a base sendo o segmento AB. Isso significa que os lados AC e BC devem ter o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos triângulos isósceles e como calcular distâncias entre pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos pontos A e B:
- A(2, –4)
- B(2, 3)
Observando as coordenadas, notamos que os dois pontos têm o mesmo valor de x (x = 2). Isso significa que o segmento AB é uma linha vertical no plano.
Passo 3
Agora, como queremos que o triângulo ABC seja isósceles com base em AB, os lados AC e BC precisam ter o mesmo comprimento. Para que isso aconteça, o ponto C deve estar equidistante de A e de B.
Passo 4
Vamos calcular a distância entre A e B para entender melhor:
A distância $ d $ entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada pela fórmula:
A distância $ d $ entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada pela fórmula:
Aplicando isso para A e B:
Então, a distância entre A e B é 7 unidades.
Passo 5
Para que C faça AC = BC, C deve estar localizado de tal forma que suas distâncias para A e B sejam iguais. Géometricamente, isso significa que C deve estar em algum lugar na mediatriz do segmento AB.
Passo 6
A mediatriz é uma linha que é perpendicular ao segmento AB e passa pelo ponto médio de AB. Vamos encontrar o ponto médio de AB.
As coordenadas do ponto médio $ M $ são:
Então, o ponto médio é M(2, –0.5).
Passo 7
Como AB é uma linha vertical (x = 2), sua mediatriz será uma linha horizontal passando por M. Portanto, a equação da mediatriz é:
Isso significa que qualquer ponto C na linha $ y = -0.5 $ fará com que AC = BC, formando um triângulo isósceles com base em AB.
Resposta
Um ponto C que satisfaz ABC ser isósceles com base em AB está na linha $ y = -0.5 $. Por exemplo, C(3, –0.5).