Dados os pontos A(-5 ; 48), B(x ; 10) e C(4 ;-15), é correto afirmar que, para serem colineares, é necessário que o valor de x seja um número tal que
(A) 1,5<x<2
(B) 1<x<1,5
(C) 0<x<0,5
(D) 0,5<x<1
(E) -0,5<x<0

Passo 1

O enunciado dá três pontos e pede o valor de x para que eles sejam colineares. Dados:
  • A(-5 ; 48)
  • B(x ; 10)
  • C(4 ; -15)
A pergunta implícita é: para que valor de x os três pontos estão sobre a mesma reta? Foram oferecidas cinco alternativas de intervalo:
(A) 1,5<x<2
(B) 1<x<1,5
(C) 0<x<0,5
(D) 0,5<x<1
(E) -0,5<x<0

Passo 2

Ideia principal (explicação didática). Dois segmentos formados por três pontos pertencentes à mesma reta têm a mesma inclinação (mesma razão entre diferença de y e diferença de x). A inclinação (ou coeficiente angular) entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Se os pontos A, B e C são colineares, então a inclinação de AB é igual à inclinação de AC:
m_{AB}=m_{AC}.
Observação importante: se as abscissas coincidirem (denominador zero), a reta é vertical; nesse caso é preciso tratar separadamente. Aqui vamos verificar isso ao longo do cálculo.

Passo 3

Calcular a inclinação de AC. Aplicando a fórmula entre A(-5,48) e C(4,-15):
m_{AC}=\frac{-15-48}{4-(-5)}=\frac{-63}{9}=-7.
Interpretação: a reta que liga A e C tem inclinação -7.

Passo 4

Escrever a inclinação de AB em função de x. Entre A(-5,48) e B(x,10):
m_{AB}=\frac{10-48}{x-(-5)}=\frac{-38}{x+5}.
Aqui explicando termos: o numerador 10-48 é a variação vertical ( \Delta y) entre B e A; o denominador x-(-5)=x+5 é a variação horizontal ( \Delta x) entre B e A.

Passo 5

Impor a igualdade das inclinações e resolver para x. Temos
\frac{-38}{x+5}=-7.
Passo a passo da álgebra:
  1. Multiplicar ambos os lados por x+5 (atenção: isso é válido desde que x+5\neq0; trataremos essa possibilidade depois):
-38=-7(x+5).
  1. Desenvolver o lado direito:
-38=-7x-35.
  1. Isolar x. Somando 7x e adicionando 38 aos dois lados:
7x = -35 + 38 = 3.
  1. Dividindo por 7:
x=\frac{3}{7}.

Passo 6

Verificações e interpretação numérica.
  • Conferir que não houve divisão por zero: x+5=\dfrac{3}{7}+5=\dfrac{3+35}{7}=\dfrac{38}{7}\neq0. Logo a operação foi válida.
  • Valor numérico aproximado: x=\dfrac{3}{7}\approx 0,428571\ldots.
  • Esse valor pertence ao intervalo 0<x<0,5, portanto corresponde à alternativa (C).
  • Checagem rápida substituindo na inclinação de AB:
m_{AB}=\frac{-38}{\tfrac{3}{7}+5}=\frac{-38}{\tfrac{38}{7}}=-38\cdot\frac{7}{38}=-7,
que coincide com m_{AC}. Tudo certo — os três pontos ficam na mesma reta.

Resposta

(C)

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