Dados os pontos A(2,0,0) ; B(0,1,0) ; C(0,0,1)
(a) Calcule a área do triângulo que tem esses pontos como vértices
(b) Calcule a equação do plano que passa por esses pontos
Passo 1
O enunciado nos dá três pontos no espaço:
A(2,0,0)
B(0,1,0)
C(0,0,1)
O que é pedido:
(a) Calcular a área do triângulo cujos vértices são A, B e C.
(b) Calcular a equação do plano que passa por A, B e C.
Passo 2
Primeiro vamos entender como calcular a área de um triângulo no espaço usando vetores. Se P,Q,R são pontos, formamos dois vetores lado a lado a partir de um vértice, por exemplo \vec{PQ}=Q-P e \vec{PR}=R-P. A área do triângulo PQR é metade do módulo (norma) do produto vetorial desses dois vetores:
Aqui cada componente do vetor é uma diferença de coordenadas. Vamos aplicar isso escolhendo P=A, Q=B, R=C. Calculamos primeiro os vetores \vec{AB} e \vec{AC}.
Passo 3
Calcular \vec{AB} e \vec{AC} por subtração componente a componente:
\vec{AB}=B-A=(0-2,\;1-0,\;0-0)=(-2,\;1,\;0),
\vec{AC}=C-A=(0-2,\;0-0,\;1-0)=(-2,\;0,\;1).
Expliquei: cada componente do vetor é coordenada do ponto final menos coordenada do ponto inicial.
Passo 4
Agora precisamos do produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}. Lembro a fórmula componente a componente: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
Finalmente a área do triângulo é metade dessa norma:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot 3=\tfrac{3}{2}.Á
Portanto a área é \tfrac{3}{2}.
Passo 7
Agora a equação do plano. Uma forma prática: o vetor normal ao plano é exatamente \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}. Já o temos: \vec{n}=(1,2,2). Se \vec{n}=(a,b,c) e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação cartesiana do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Escolhemos o ponto A(2,0,0) como P_0 e (a,b,c)=(1,2,2). Substituindo:
1\cdot(x-2)+2\cdot(y-0)+2\cdot(z-0)=0.
Passo 8
Simplificando a equação obtida:
x-2+2y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2y+2z=2.
Como verificação rápida (opcional): substituir B(0,1,0) e C(0,0,1) dá 0+2\cdot1+0=2 e 0+0+2\cdot1=2, então B e C satisfazem a equação, confirmando que o plano está correto.