Dados os pontos A(2,0,0) ; B(0,1,0) ; C(0,0,1)
(a) Calcule a área do triângulo que tem esses pontos como vértices
(b) Calcule a equação do plano que passa por esses pontos

Passo 1

O enunciado nos dá três pontos no espaço:
  • A(2,0,0)
  • B(0,1,0)
  • C(0,0,1)
O que é pedido:
(a) Calcular a área do triângulo cujos vértices são A, B e C.
(b) Calcular a equação do plano que passa por A, B e C.

Passo 2

Primeiro vamos entender como calcular a área de um triângulo no espaço usando vetores. Se P,Q,R são pontos, formamos dois vetores lado a lado a partir de um vértice, por exemplo
\vec{PQ}=Q-P e \vec{PR}=R-P. A área do triângulo PQR é metade do módulo (norma) do produto vetorial desses dois vetores:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\,\big\|\vec{PQ}\times\vec{PR}\big\|.Á
Aqui cada componente do vetor é uma diferença de coordenadas. Vamos aplicar isso escolhendo P=A, Q=B, R=C. Calculamos primeiro os vetores \vec{AB} e \vec{AC}.

Passo 3

Calcular \vec{AB} e \vec{AC} por subtração componente a componente:
\vec{AB}=B-A=(0-2,\;1-0,\;0-0)=(-2,\;1,\;0),
\vec{AC}=C-A=(0-2,\;0-0,\;1-0)=(-2,\;0,\;1).
Expliquei: cada componente do vetor é coordenada do ponto final menos coordenada do ponto inicial.

Passo 4

Agora precisamos do produto vetorial \vec{AB}\times\vec{AC}. Lembro a fórmula componente a componente: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Aplicando com \vec{u}=\vec{AB}=(-2,1,0) e \vec{v}=\vec{AC}=(-2,0,1):
\vec{AB}\times\vec{AC}=\big(1\cdot1-0\cdot0,\;0\cdot(-2)-(-2)\cdot1,\;(-2)\cdot0-1\cdot(-2)\big).
Calculando cada componente:
\vec{AB}\times\vec{AC}=(1,\;0+2,\;0+2)=(1,\;2,\;2).

Passo 5

Agora precisamos da norma (módulo) do vetor \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}=(1,2,2). A norma de \vec{n}=(n_1,n_2,n_3) é
\|\vec{n}\|=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}.
Aplicando:
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 6

Finalmente a área do triângulo é metade dessa norma:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\cdot 3=\tfrac{3}{2}.Á
Portanto a área é \tfrac{3}{2}.

Passo 7

Agora a equação do plano. Uma forma prática: o vetor normal ao plano é exatamente \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}. Já o temos: \vec{n}=(1,2,2). Se \vec{n}=(a,b,c) e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação cartesiana do plano é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Escolhemos o ponto A(2,0,0) como P_0 e (a,b,c)=(1,2,2). Substituindo:
1\cdot(x-2)+2\cdot(y-0)+2\cdot(z-0)=0.

Passo 8

Simplificando a equação obtida:
x-2+2y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2y+2z=2.
Como verificação rápida (opcional): substituir B(0,1,0) e C(0,0,1) 0+2\cdot1+0=2 e 0+0+2\cdot1=2, então B e C satisfazem a equação, confirmando que o plano está correto.

Resposta

\dfrac{3}{2}
x+2y+2z=2

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