Dados os pontos A=(-1,2,4) e B=(2,3,-1) e \vec{v}=(1,3,5). Calcular:
3 \vec{v}-2(A+B)

Passo 1

O enunciado dá os pontos e o vetor abaixo e pede para calcular uma combinação linear:
  • A = (-1,2,4)
  • B = (2,3,-1)
  • \vec{v} = (1,3,5)
O que devemos calcular é
3\vec{v} - 2(A+B).

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar as regras básicas de operações com vetores em coordenadas (isso é tudo o que precisamos para a prova):
  • Soma de vetores: se u=(u_1,u_2,u_3) e w=(w_1,w_2,w_3), então
u+w = (u_1+w_1,\; u_2+w_2,\; u_3+w_3).
  • Multiplicação por escalar: para c\in\mathbb{R} e u=(u_1,u_2,u_3),
c\,u = (c\,u_1,\; c\,u_2,\; c\,u_3).
  • Subtração é só soma com o escalar negativo:
u-w = (u_1-w_1,\; u_2-w_2,\; u_3-w_3).
Essas fórmulas significam que todas as operações são feitas componente a componente — nada misterioso, só somar e multiplicar números.

Passo 3

Calcular A+B aplicando a regra da soma componente a componente:
A+B = (-1,2,4)+(2,3,-1)=(-1+2,\;2+3,\;4+(-1))=(1,5,3).

Passo 4

Agora multiplicar por 2:
2(A+B)=2(1,5,3)=(2\cdot1,\;2\cdot5,\;2\cdot3)=(2,10,6).

Passo 5

Calcular 3\vec{v} da mesma forma:
3\vec{v}=3(1,3,5)=(3\cdot1,\;3\cdot3,\;3\cdot5)=(3,9,15).

Passo 6

Finalmente, subtrair as componentes:
3\vec{v}-2(A+B)=(3,9,15)-(2,10,6)=(3-2,\;9-10,\;15-6)=(1,-1,9).

Resposta

(1,-1,9)

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