Considere os vetores vec{u}=\frac{1}{3} \vec{i}-1 \vec{j}+2 \vec{k} e vec{v}=-2 \vec{i}+\frac{1}{3} \vec{i}-3 \vec{k}, calcule o valor de vec{x} em:
\vec{x}-(3 \vec{u}-5 \vec{v})=3\left(\frac{1}{2} \vec{x}-\frac{1}{4} \vec{u}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes dados exatamente do enunciado):
  • \vec{u}=\dfrac{1}{3}\vec{i}-1\vec{j}+2\vec{k}.
  • \vec{v}=-2\vec{i}+\dfrac{1}{3}\vec{i}-3\vec{k}.
    Aqui há duas parcelas na direção \vec{i}; somando-as obtemos \vec{v}=-\dfrac{5}{3}\vec{i}+0\vec{j}-3\vec{k}.
  • A equação a resolver é \vec{x}-(3\vec{u}-5\vec{v})=3\Big(\tfrac{1}{2}\vec{x}-\tfrac{1}{4}\vec{u}\Big).
O que se pede: encontrar o vetor \vec{x} que satisfaz a equação acima.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar a equação vetorial exatamente como uma equação algébrica entre vetores: podemos somar/subtrair vetores e multiplicar por escalares normalmente. Expandindo os parênteses em ambos os lados da equação teremos expressões em \vec{x}, \vec{u} e \vec{v}.
Expandindo o lado esquerdo:
\vec{x}-(3\vec{u}-5\vec{v})=\vec{x}-3\vec{u}+5\vec{v}.
Expandindo o lado direito:
3\Big(\tfrac{1}{2}\vec{x}-\tfrac{1}{4}\vec{u}\Big)=\tfrac{3}{2}\vec{x}-\tfrac{3}{4}\vec{u}.
Portanto a equação fica
\vec{x}-3\vec{u}+5\vec{v}=\tfrac{3}{2}\vec{x}-\tfrac{3}{4}\vec{u}.

Passo 3

Agora agrupamos os termos que envolvem \vec{x} num lado e os termos com \vec{u},\vec{v} no outro. Subtraindo \tfrac{3}{2}\vec{x} de ambos os lados e somando 3\vec{u} em ambos os lados:
\vec{x}-\tfrac{3}{2}\vec{x} = -\tfrac{3}{4}\vec{u}+3\vec{u}-5\vec{v}.
Calcule o coeficiente de \vec{x}:
\vec{x}-\tfrac{3}{2}\vec{x}=\Big(1-\tfrac{3}{2}\Big)\vec{x} = -\tfrac{1}{2}\vec{x}.
No lado direito combinamos os coeficientes de \vec{u}:
-\tfrac{3}{4}\vec{u}+3\vec{u}=\Big(-\tfrac{3}{4}+3\Big)\vec{u}=\tfrac{9}{4}\vec{u}.
Logo a equação reduz-se a
-\tfrac{1}{2}\vec{x}=\tfrac{9}{4}\vec{u}-5\vec{v}.

Passo 4

Para isolar \vec{x} multiplicamos ambos os lados por -2:
\vec{x} = -2\Big(\tfrac{9}{4}\vec{u}-5\vec{v}\Big) = -\tfrac{18}{4}\vec{u}+10\vec{v} = -\tfrac{9}{2}\vec{u}+10\vec{v}.
Isto é uma expressão final em função de \vec{u} e \vec{v}. Agora vamos calcular em componentes.

Passo 5

Lembrete prático (como usar na prova): se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) então
  • c\vec{a}=(c a_1, c a_2, c a_3) para qualquer escalar c;
  • \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2,\;a_3+b_3).
    Vamos aplicar isso a -\tfrac{9}{2}\vec{u}+10\vec{v}.
Dos dados (peguei os componentes do enunciado e, como dito, somei as parcelas em \vec{i} de \vec{v}):
\vec{u}=\Big(\tfrac{1}{3},\,-1,\,2\Big),\qquad \vec{v}=\Big(-\tfrac{5}{3},\,0,\,-3\Big).

Passo 6

Calculemos -\tfrac{9}{2}\vec{u} componente a componente:
-\tfrac{9}{2}\vec{u} = -\tfrac{9}{2}\Big(\tfrac{1}{3},-1,2\Big) = \Big(-\tfrac{9}{2}\cdot\tfrac{1}{3},\; -\tfrac{9}{2}\cdot(-1),\; -\tfrac{9}{2}\cdot 2\Big) = \Big(-\tfrac{3}{2},\; \tfrac{9}{2},\; -9\Big).
Calculemos 10\vec{v}:
10\vec{v}=10\Big(-\tfrac{5}{3},0,-3\Big)=\Big(-\tfrac{50}{3},\,0,\,-30\Big).
Agora somamos componente a componente:
  • Componente em \vec{i}: x_1 = -\tfrac{3}{2} + \Big(-\tfrac{50}{3}\Big) = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{50}{3} = -\tfrac{9}{6} - \tfrac{100}{6} = -\tfrac{109}{6}.
  • Componente em \vec{j}: x_2 = \tfrac{9}{2} + 0 = \tfrac{9}{2}.
  • Componente em \vec{k}: x_3 = -9 + (-30) = -39.

Resposta

\vec{x}=-\dfrac{109}{6}\vec{i}+\dfrac{9}{2}\vec{j}-39\vec{k}

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