Dados os pontos A(2,-1) e B(-1,4) e os vetores \vec{u}=(-1,3) e \vec{v}=(-2,-1)
|3 \vec{u}-5 \vec{v}|

Passo 1

O que o problema pede: calcular o módulo (comprimento) do vetor \;3\vec{u}-5\vec{v}\;.
Informações dadas:
\;A(2,-1)\; (dado, não será necessário para esse cálculo),
\;B(-1,4)\; (dado, não será necessário para esse cálculo),
\;\vec{u}=(-1,3)\;,
\;\vec{v}=(-2,-1)\;.
Pergunta explícita: encontrar \;|3\vec{u}-5\vec{v}|\;.

Passo 2

Entendendo multiplicação por escalar em vetores (aula rápida e prática).
Se \;\vec{w}=(w_1,w_2)\; e k é um número real, então
k\vec{w}=(k w_1,\; k w_2).
Aplicando isso a \;\vec{u}=(-1,3)\; com k=3:
3\vec{u} = (3\cdot(-1),\;3\cdot 3) = (-3,\;9).

Passo 3

Fazendo o mesmo para \;\vec{v}=(-2,-1)\; com k=5:
5\vec{v} = (5\cdot(-2),\;5\cdot(-1)) = (-10,\;-5).

Passo 4

Entendendo subtração de vetores (passo a passo).
Se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então
\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\;a_2-b_2).
Aqui queremos \;3\vec{u}-5\vec{v}\;. Substituindo os resultados dos passos anteriores:
3\vec{u}-5\vec{v} = (-3,\,9) - (-10,\,-5).
Calculando componente a componente:
(-3)-(-10) = -3+10 = 7,
9-(-5) = 9+5 = 14.
Logo
3\vec{u}-5\vec{v} = (7,\;14).

Passo 5

Entendendo o módulo (comprimento) de um vetor em \mathbb{R}^2.
Se \vec{w}=(x,y), o módulo |\vec{w}| é dado pelo Teorema de Pitágoras:
|\vec{w}| = \sqrt{x^2 + y^2}.
Aplicando ao vetor (7,14):
|3\vec{u}-5\vec{v}| = \sqrt{7^2 + 14^2} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245}.

Passo 6

Simplificando a raiz quadrada (procura por quadrados perfeitos).
Fatoramos 245:
245 = 49 \cdot 5,
e como \sqrt{49}=7, temos
\sqrt{245} = \sqrt{49\cdot 5} = \sqrt{49}\,\sqrt{5} = 7\sqrt{5}.
Portanto o módulo procurado é 7\sqrt{5}.

Resposta

\;7\sqrt{5}\;

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