\lim _{x \rightarrow \pi / 4}(1-\operatorname{tg} x) \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to \pi/4} (1-\operatorname{tg}x)\operatorname{sec} x.
Informações dadas ou implícitas: o ponto de interesse é x=\pi/4. As funções envolvidas são \operatorname{tg}x (tangente de x) e \operatorname{sec} x (secante de x). Não há figura nem outras condições adicionais.

Passo 2

Entendendo as funções que aparecem (aula rápida):
  • \operatorname{tg}x é a tangente, definida por \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} sempre que \cos x\neq 0. Aqui \sin x e \cos x são as funções seno e cosseno.
  • \operatorname{sec} x é a secante, definida por \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} sempre que \cos x\neq 0.
    Explicação: essas definições mostram que tanto \operatorname{tg}x quanto \operatorname{sec} x são frações envolvendo \cos x no denominador, logo são bem definidas e contínuas nos pontos onde \cos x\neq 0.

Passo 3

Verificar se podemos aplicar substituição direta: calcule \cos(\pi/4).
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\neq 0.
Como \cos(\pi/4)\neq 0, as funções \operatorname{tg}x e \operatorname{sec} x são contínuas em x=\pi/4. Teorema usado (explicado): se f e g são funções contínuas em um ponto a, então f\cdot g é contínua em a e \lim_{x\to a} f(x)g(x)=f(a)g(a). Aqui aplicamos essa ideia ao produto (1-\operatorname{tg}x)\operatorname{sec} x: basta avaliar cada fator em x=\pi/4, desde que ambos tenham limite finito.

Passo 4

Calcular os valores das funções em x=\pi/4:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1, \qquad \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}.
Substituindo:
(1-\operatorname{tg}x)\operatorname{sec} x \xrightarrow[x\to\pi/4]{} (1-1)\cdot \sqrt{2}=0\cdot\sqrt{2}=0.
Assim, por continuidade e substituição direta, o limite vale 0.

Passo 5

Verificação alternativa (mais algébrica) para ficar seguro — reescrevendo em termos de \sin e \cos:
(1-\operatorname{tg}x)\operatorname{sec} x = \left(1-\frac{\sin x}{\cos x}\right)\cdot\frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x-\sin x}{\cos^2 x}.
Agora avalie no ponto x=\pi/4:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0, \qquad \cos^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\neq 0.
Logo a razão tende a 0/\tfrac{1}{2}=0. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 6

Observação intuitiva final e dica de prova: uma forma prática de ver esses limites é notar que se um fator tende a 0 (aqui 1-\operatorname{tg}x tende a 0) e o outro tende a um número finito (aqui \operatorname{sec} x\to\sqrt{2}), então o produto tende a 0. Sempre cheque se o segundo fator não explode (ou seja, não tende a infinito) — aqui não explode porque \cos(\pi/4)\neq 0.

Resposta

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