Informações dadas ou implícitas: o ponto de interesse é x=\pi/4. As funções envolvidas são \operatorname{tg}x (tangente de x) e \operatorname{sec} x (secante de x). Não há figura nem outras condições adicionais.
Passo 2
Entendendo as funções que aparecem (aula rápida):
\operatorname{tg}x é a tangente, definida por \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x} sempre que \cos x\neq 0. Aqui \sin x e \cos x são as funções seno e cosseno.
\operatorname{sec} x é a secante, definida por \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} sempre que \cos x\neq 0.
Explicação: essas definições mostram que tanto \operatorname{tg}x quanto \operatorname{sec} x são frações envolvendo \cos x no denominador, logo são bem definidas e contínuas nos pontos onde \cos x\neq 0.
Passo 3
Verificar se podemos aplicar substituição direta: calcule \cos(\pi/4).
Como \cos(\pi/4)\neq 0, as funções \operatorname{tg}x e \operatorname{sec} x são contínuas em x=\pi/4. Teorema usado (explicado): se f e g são funções contínuas em um ponto a, então f\cdot g é contínua em a e \lim_{x\to a} f(x)g(x)=f(a)g(a). Aqui aplicamos essa ideia ao produto (1-\operatorname{tg}x)\operatorname{sec} x: basta avaliar cada fator em x=\pi/4, desde que ambos tenham limite finito.
Logo a razão tende a 0/\tfrac{1}{2}=0. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 6
Observação intuitiva final e dica de prova: uma forma prática de ver esses limites é notar que se um fator tende a 0 (aqui 1-\operatorname{tg}x tende a 0) e o outro tende a um número finito (aqui \operatorname{sec} x\to\sqrt{2}), então o produto tende a 0. Sempre cheque se o segundo fator não explode (ou seja, não tende a infinito) — aqui não explode porque \cos(\pi/4)\neq 0.