13 Mostre que |\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2 \vec{u} \cdot \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma identidade envolvendo os vetores \vec{u} e \vec{v}. Especificamente, devemos provar que o quadrado da norma do vetor diferença \vec{u}-\vec{v} é igual a uma combinação das normas de \vec{u} e \vec{v} e do produto interno entre eles. As informações dadas são apenas os vetores \vec{u} e \vec{v}; não há valores numéricos nem restrições extras.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar a definição que liga norma (comprimento) e produto escalar (produto interno). Para qualquer vetor \vec{w} vale:
|\vec{w}|^{2}=\vec{w}\cdot\vec{w}.
Isto significa que o quadrado da norma de \vec{w} é igual ao produto escalar de \vec{w} consigo mesmo. Aqui |\vec{w}| é a norma (ou comprimento) de \vec{w} e \vec{w}\cdot\vec{w} é o produto interno de \vec{w} por \vec{w}.

Passo 3

Outra propriedade básica do produto escalar que vamos usar é a distributividade sobre a adição: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
E o produto escalar é comutativo:
\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
Essas propriedades permitem expandir produtos escalares envolvendo somas e diferenças.

Passo 4

Usando a relação do Passo 2 com \vec{w}=\vec{u}-\vec{v}, escrevemos:
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}).
Agora expandimos o produto escalar usando a distributividade:
(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 5

Aplicando a comutatividade \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}, os dois termos mistos se combinam:
\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v} =\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{v}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 6

Finalmente substituímos \vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^{2} e \vec{v}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^{2} (veja Passo 2) e obtemos:
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 7

Como checagem alternativa (muito útil na prova): em coordenadas, se \vec{u}=(u_{1},\dots,u_{n}) e \vec{v}=(v_{1},\dots,v_{n}), então
|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=\sum_{i=1}^{n}(u_{i}-v_{i})^{2} =\sum_{i=1}^{n}u_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}v_{i}^{2}-2\sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i},
que é exatamente
|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v},
pois \vec{u}\cdot\vec{v}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i}. Isso confirma a identidade de outra forma.

Resposta

|\vec{u}-\vec{v}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.

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