13 Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma identidade envolvendo os vetores
e
. Especificamente, devemos provar que o quadrado da norma do vetor diferença
é igual a uma combinação das normas de
e
e do produto interno entre eles. As informações dadas são apenas os vetores
e
; não há valores numéricos nem restrições extras.
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar a definição que liga norma (comprimento) e produto escalar (produto interno). Para qualquer vetor
vale:
Isto significa que o quadrado da norma de
é igual ao produto escalar de
consigo mesmo. Aqui
é a norma (ou comprimento) de
e
é o produto interno de
por
.
Passo 3
Outra propriedade básica do produto escalar que vamos usar é a distributividade sobre a adição: para quaisquer vetores
,
E o produto escalar é comutativo:
Essas propriedades permitem expandir produtos escalares envolvendo somas e diferenças.
Passo 4
Usando a relação do Passo 2 com
, escrevemos:
Agora expandimos o produto escalar usando a distributividade:
Passo 5
Aplicando a comutatividade
, os dois termos mistos se combinam:
Passo 6
Finalmente substituímos
e
(veja Passo 2) e obtemos:
Passo 7
Como checagem alternativa (muito útil na prova): em coordenadas, se
e
, então
que é exatamente
pois
. Isso confirma a identidade de outra forma.