Dados os pontos M(2,0) e N(0,2), determine P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.

Passo 1

O problema pede encontrar todos os pontos P tais que o triângulo formado por M(2,0), N(0,2) e P seja equilátero. Vamos usar rotação de vetores em pm60^circ para gerar as duas possíveis posições de P.

Passo 2

Calcular o vetor que vai de M a N:
MN=N-M=(0-2,;2-0)=(-2,;2)

Passo 3

Para obter um triângulo equilátero, rotacionamos MN em torno de M por +60^circ. A matriz de rotação em R^2 é
R60= tfrac12 & -tfracraiz32 tfracraiz32 & tfrac12

Passo 4

Aplicando R60 ao vetor MN=(-2,2) obtemos:
v1=R60MN= -2cdottfrac12 - 2cdottfracraiz32 -2cdottfracraiz32 + 2cdottfrac12 = -1-raiz3 -raiz3+1
Então a primeira solução é
P1=M+v1=(2,0)+(-1-raiz3,;1-raiz3)=(1-raiz3,;1-raiz3)

Passo 5

Para a segunda posição, rotacionamos MN por -60^circ. A matriz de rotação é
R-60= tfrac12 & tfracraiz32 -tfracraiz32 & tfrac12
Aplicando-a a MN
v2=R-60MN= -2cdottfrac12 + 2cdottfracraiz32 -2cdot(-tfracraiz32) + 2cdottfrac12 = raiz3-1 raiz3+1 ,
levando a
P2=M+v2=(2,0)+(raiz3-1,;raiz3+1)=(1+raiz3,;1+raiz3)

Resposta

As soluções são
P=(1-raiz3,;1-raiz3) ou P=(1+raiz3,;1+raiz3).

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