Encontre a solução do problema de valor inicial:
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Nenhuma das demais alternativas
y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]
y=3 e^-t+22-e^t+222
y=-1-e^-3 t
y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]
y=e^9(1-t)+9 e^t-110
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial dada. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 5 $ e $ c = 3 $. Substituindo:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo as raízes que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 1 $:
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada de $ y(t) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = 0 $:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_2 = 1 - C_1 $ e substituir na segunda:
Calculando:
E então:
Passo 8
Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: