Encontre a solução do problema de valor inicial:
l y^prime prime+5 y^prime+3 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
y=2raiz33 exp [(raiz33-1) t4]-2raiz33 exp [(-raiz33-1) t4]
y=3 e^-t+22-e^t+222
y=-1-e^-3 t
y=13+5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2]+13-5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]
y=e^9(1-t)+9 e^t-110

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 5 y' + 3 y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 1 e y'(0) = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial dada. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 5 $ e $ c = 3 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas raízes:
a = 1

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo as raízes que encontramos:
y(t) = C1 e^(-5 + raiz132) t + C2 e^(-5 - raiz132) t

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 1 $:
C1

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Aplicamos a condição $ y’(0) = 0 $:
y'(t) = C1 r1 e^r1 t + C2 r2 e^r2 t

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações:
C1 + C2 = 1 C1 r1 + C2 r2 = 0
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar $ C_2 = 1 - C_1 $ e substituir na segunda:
C2 = 1 - C1
Calculando:
C1 r1 + (1 - C1) r2 = 0 C1 (r1 - r2) + r2 = 0 C1 = -r2r1 - r2
E então:
r1 - r2 = -5 + raiz132 - -5 - raiz132 = 2raiz132 = raiz13 C1 = -(-5 - raiz132)raiz13 = 5 + raiz132raiz13 = 5 + raiz132raiz13 times raiz13raiz13 = 5raiz13 + 1326 C1 = 13 + 5raiz1326

Passo 8

Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 13 + 5 raiz1326 exp [(raiz13-5) t2] + 13 - 5 raiz1326 exp [-(raiz13+5) t2]

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