Dados os pontos \mathrm{A}(2,-2,3) e \mathrm{B}(1,1,5) e o vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(1,3,-4), calcular:
2 \overrightarrow{\mathrm{v}}-3(\mathrm{~B}-\mathrm{A})

Passo 1

O enunciado dá os pontos e o vetor abaixo e pede que se calcule a expressão indicada:
  • Ponto \mathrm{A} = (2,-2,3).
  • Ponto \mathrm{B} = (1,1,5).
  • Vetor \overrightarrow{\mathrm{v}} = (1,3,-4).
    O que precisa ser calculado é:
2\overrightarrow{\mathrm{v}}-3(\mathrm{B}-\mathrm{A}).

Passo 2

Primeira ideia importante: \mathrm{B}-\mathrm{A} representa a diferença entre as coordenadas dos pontos, que é o vetor que vai de \mathrm{A} para \mathrm{B}. Em coordenadas, se
\mathrm{A}=(x_A,y_A,z_A),\qquad \mathrm{B}=(x_B,y_B,z_B),
então
\mathrm{B}-\mathrm{A}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
Outra regra essencial: multiplicação de vetor por escalar e soma/subtração de vetores operam componente a componente. Ou seja, para um escalar k e um vetor (u_1,u_2,u_3),
k(u_1,u_2,u_3)=(k u_1,\;k u_2,\;k u_3),
e para vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3),
(a_1,a_2,a_3)\pm(b_1,b_2,b_3)=(a_1\pm b_1,\;a_2\pm b_2,\;a_3\pm b_3).
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular \mathrm{B}-\mathrm{A} componente a componente:
x_B-x_A = 1-2 = -1,
y_B-y_A = 1-(-2) = 1+2 = 3,
z_B-z_A = 5-3 = 2.
Portanto
\mathrm{B}-\mathrm{A} = (-1,3,2).

Passo 4

Calcular 2\overrightarrow{\mathrm{v}} e 3(\mathrm{B}-\mathrm{A}) por multiplicação escalar componente a componente.
Para 2\overrightarrow{\mathrm{v}}:
2\overrightarrow{\mathrm{v}} = 2(1,3,-4) = (2\cdot1,\;2\cdot3,\;2\cdot(-4)) = (2,6,-8).
Para 3(\mathrm{B}-\mathrm{A}):
3(\mathrm{B}-\mathrm{A}) = 3(-1,3,2) = (3\cdot(-1),\;3\cdot3,\;3\cdot2) = (-3,9,6).

Passo 5

Agora subtrair os vetores componente a componente:
2\overrightarrow{\mathrm{v}}-3(\mathrm{B}-\mathrm{A}) = (2,6,-8)-(-3,9,6).
Fazendo as contas:
\text{primeira componente: }2-(-3)=2+3=5,
\text{segunda componente: }6-9=-3,
\text{terceira componente: }-8-6=-14.
Portanto o resultado é o vetor
(5,-3,-14).

Resposta

(5,-3,-14)

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