Dados os pontos \mathrm{A}(2,-2,3) e \mathrm{B}(1,1,5) e o vetor \overrightarrow{\mathrm{v}}=(1,3,-4), calcular:
(\mathrm{A}-\mathrm{B})-\overrightarrow{\mathrm{v}}

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos pontos e o vetor e pede uma operação com vetores. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido, sem resolver ainda.
  • Ponto \mathrm{A} com coordenadas \mathrm{A}(2,-2,3).
  • Ponto \mathrm{B} com coordenadas \mathrm{B}(1,1,5).
  • Vetor \overrightarrow{\mathrm{v}} = (1,3,-4).
O que é pedido: calcular o vetor
(\mathrm{A}-\mathrm{B})-\overrightarrow{\mathrm{v}}.

Passo 2

Entender o que significa \mathrm{A}-\mathrm{B}. Quando um ponto \mathrm{A}(x_A,y_A,z_A) e um ponto \mathrm{B}(x_B,y_B,z_B) são tratados como vetores posição (a partir da origem), a diferença \mathrm{A}-\mathrm{B} é o vetor obtido subtraindo-se componente a componente:
\mathrm{A}-\mathrm{B}=(x_A-x_B,\;y_A-y_B,\;z_A-z_B).
Isso representa o vetor que vai de \mathrm{B} a \mathrm{A}. Vou aplicar essa regra com os números dados.

Passo 3

Calcular \mathrm{A}-\mathrm{B} componente a componente, usando as coordenadas fornecidas:
\mathrm{A}-\mathrm{B}=(2-1,\; -2-1,\; 3-5).
Agora faço as subtrações em cada componente:
2-1=1,\qquad -2-1=-3,\qquad 3-5=-2.
Logo, como cálculo intermediário temos
\mathrm{A}-\mathrm{B}=(1,-3,-2).

Passo 4

Explicar a operação final (\mathrm{A}-\mathrm{B})-\overrightarrow{\mathrm{v}}. A subtração de vetores também é feita componente a componente: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3), então
\mathbf{u}-\mathbf{w}=(u_1-w_1,\;u_2-w_2,\;u_3-w_3).
Já temos \mathrm{A}-\mathrm{B}=(1,-3,-2) e foi dado \overrightarrow{\mathrm{v}}=(1,3,-4). Vou aplicar a fórmula componente a componente.

Passo 5

Calcular cada componente de (\mathrm{A}-\mathrm{B})-\overrightarrow{\mathrm{v}}:
\begin{aligned} \text{primeira componente: }& 1-1 = 0,\\[4pt] \text{segunda componente: }& -3-3 = -6,\\[4pt] \text{terceira componente: }& -2-(-4) = -2+4 = 2. \end{aligned}]

Passo 6

Juntando as componentes calculadas, o vetor resultante é
(0,-6,2).

Resposta

(0,-6,2)

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